题目

设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,设X1,X2,···,Xn, _(n+1) 是来自正态总体N(μ,σ ^2)的样本,

$设X_1,X_2, \dots ,X_n,X_ {n+1}是来自正态总体N( \mu , \sigma ^2)的样本,$ $\overline X与s^2分别为样本均值和修正样本方差,$ $则统计量$ $Y=\sqrt{\frac{n}{n+1}}\frac{\overline{X}-X_{n+1}}{s}$ $服从的分布是()$

$(A)N(0,1) ; (B)t(n) ; (C)t(n-1) ; (D)t(n+1).$

题目解答

答案

本题答案为B。

∵ $\overline{X}-X_{n+1}=\dfrac{1}{\mathrm{n+1}}\sum_{\mathrm{i=1}}^{\mathrm{n}}\mathrm{X_i}-\dfrac{\mathrm{n}}{\mathrm{n+1}}\mathrm{X_{n+1}}$

$且X_1,X_2, \dots ,X_n,X_ {n+1}服从N( \mu , \sigma ^2)$

∴ $\mathrm{\frac{1}{n+1}\sum_{i=1}^nX_i\sim N(\frac{n~\mu}{n+1},~\frac{n\sigma^2}{(n+1)^2})}$ $\mathrm{\frac{n}{n+1}X_{n+1}\sim N(\frac{n\mu}{n+1},~\frac{n^2\sigma^2}{(n+1)^2})}$

∴ $\overline{X}-X_{n+1}\mathrm{\sim N(0,\frac{n}{n+1}\sigma^2)}$

∵ $\frac{ns^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n)$

∴ $\sqrt{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n+1}}}\frac{\overline{X}-X_{n+1}}{s}\sim t(n)$

故答案选B

解析

本题考查统计量的分布推导，核心在于结合正态分布与卡方分布构造t分布。关键点如下：

样本均值与独立观测值的差服从正态分布；
修正样本方差服从卡方分布；
t分布的定义：标准正态变量除以独立卡方变量的平方根，再调整自由度。

步骤1：分析分子部分

样本均值 $\overline{X} \sim N\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，独立观测值 $X_{n+1} \sim N(\mu, \sigma^2)$；
差 $\overline{X} - X_{n+1}$ 的方差为 $\dfrac{\sigma^2}{n} + \sigma^2 = \dfrac{\sigma^2(n+1)}{n}$；
标准化后：$\sqrt{\dfrac{n}{n+1}} \cdot \dfrac{\overline{X} - X_{n+1}}{\sigma} \sim N(0,1)$。

步骤2：分析分母部分

修正样本方差 $s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$，满足 $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$；
分母 $\sqrt{s^2}$ 可表示为 $\sqrt{\dfrac{\chi^2(n-1)}{n-1}} \cdot \sigma$。

步骤3：构造t分布

统计量 $Y = \dfrac{\text{标准正态变量}}{\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}}$，符合t分布定义，自由度为 $n-1$。