五家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1，X2，X3，X4，X5．已知X1～N(200，225)，X2～N(240，240)，X3～N(180，225)，X4～N(260，265)，X5～N(320，270)，X1，X2，X3，X4，X5相互独立． (1) 求五家商店两周的总销售量的均值和方差． (2) 商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品?

本题主要考查正态分布的性质以及利用正态分布进行概率计算。解题的关键在于利用独立正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布这一性质，先求出总销售量的均值和方差，再通过标准化变换将所求概率转化为标准正态分布的概率进行计算。

(1) 求五家商店两周的总销售量的均值和方差

设$Y$记$5$家商店该种产品的总销售量，即$Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5$。

• 计算均值$E(Y)$：
  根据期望的线性性质，对于相互独立的随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$，有$E(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}E(X_i)$。
  已知$X_1\sim N(200,225)$，$X_2\sim N(240,240)$，$X_3\sim N(180,225)$，$X_4\sim N(260,265)$，$X_5\sim N(320,270)$，则$E(X_1)=200$，$E(X_2)=240$，$E(X_3)=180$，$E(X_4)=260$，$E(X_5)=320$。
  所以$E(Y)=\sum_{i = 1}^{5}E(X_i)=200 + 240 + 180 + 260 + 320 = 1200$。
• 计算方差$D(Y)$：
  根据方差的性质，对于相互独立的随机变量$X_1,X_2,\cdots,X_n$，有$D(\sum_{i = 1}^{n}X_i)=\sum_{i = 1}^{n}D(X_i)$。
  已知$D(X_1)=225$，$D(X_2)=240$，$D(X_3)=225$，$D(X_4)=265$，$D(X_5)=270$。
  所以$D(Y)=\sum_{i = 1}^{5}D(X_i)=225 + 240 + 225 + 265 + 270 = 1225$。
  又因为$1225 = 35^2$，且$X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$都服从正态分布，相互独立的正态分布随机变量的线性组合仍服从正态分布，所以$Y\sim N(1200,35^2)$。

(2) 求商店仓库应至少储存的产品数量

设仓库应至少存储$n$公斤该产品，才能使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于$0.99$，则$n$应满足条件$P\{Y\leq n\} > 0.99$。
因为$Y\sim N(1200,35^2)$，根据正态分布的标准化变换，令$Z = \frac{Y - 1200}{35}$，则$Z\sim N(0,1)$。
所以$P\{Y\leq n\}=P\{\frac{Y - 1200}{35}\leq\frac{n - 1200}{35}\}=P\{Z\leq\frac{n - 1200}{35}\}=\varPhi(\frac{n - 1200}{35})$，其中$\varPhi(z)$是标准正态分布的分布函数。
查标准正态分布表可得$\varPhi(2.33)=0.99$，要使$\varPhi(\frac{n - 1200}{35}) > 0.99$，则$\frac{n - 1200}{35} > 2.33$。
解这个不等式：
$\begin{align*}\frac{n - 1200}{35} &> 2.33\\n - 1200 &> 2.33\times35\\n - 1200 &> 81.55\\n &> 1200 + 81.55\\n &> 1281.55\end{align*}$
因为$n$为产品数量，应为整数，所以需取$n = 1282$公斤。