题目
设sim N(0,1) sim N(0,1)，且相互独立，sim N(0,1) sim N(0,1)，求：（1）分别求U，V的概率密度函数；（2）求U，V的相关系数.
设
，且相互独立，
，求：（1）分别求U，V的概率密度函数；（2）求U，V的相关系数.
题目解答
答案
X与Y相互独立，则
，则
，
，则
，则U的概率密度函数为
，
，
，则
，则V的概率密度函数为
；（2）
，则
，则
.
解析
步骤 1：求U的概率密度函数
由于$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$，且$X$和$Y$相互独立，因此$U=X+Y+1$的期望和方差可以计算如下：
- 期望：$E(U)=E(X+Y+1)=E(X)+E(Y)+1=0+0+1=1$
- 方差：$D(U)=D(X+Y+1)=D(X)+D(Y)+D(1)=1+1+0=2$
因此，$U\sim N(1,2)$，其概率密度函数为$f_U(u)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}e^{-\frac{(u-1)^2}{2\cdot2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(u-1)^2}{4}}$，$-\infty
步骤 2：求V的概率密度函数
同理，$V=X-Y+1$的期望和方差可以计算如下：
- 期望：$E(V)=E(X-Y+1)=E(X)-E(Y)+1=0-0+1=1$
- 方差：$D(V)=D(X-Y+1)=D(X)+D(Y)+D(1)=1+1+0=2$
因此，$V\sim N(1,2)$，其概率密度函数为$f_V(v)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}e^{-\frac{(v-1)^2}{2\cdot2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(v-1)^2}{4}}$，$-\infty
步骤 3：求U和V的相关系数
- $E(UV)=E[(X+Y+1)(X-Y+1)]=E[X^2-Y^2+2X+1]=E[X^2]-E[Y^2]+2E[X]+1$
- 由于$X$和$Y$独立，$E[X^2]=D(X)+E[X]^2=1+0^2=1$，$E[Y^2]=D(Y)+E[Y]^2=1+0^2=1$，$E[X]=0$，$E[Y]=0$，因此$E(UV)=1-1+0+1=1$
- $Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=1-1\cdot1=0$
- 相关系数$\rho_{UV}=\dfrac{Cov(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}}=\dfrac{0}{\sqrt{2\cdot2}}=0$
由于$X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$，且$X$和$Y$相互独立，因此$U=X+Y+1$的期望和方差可以计算如下：
- 期望：$E(U)=E(X+Y+1)=E(X)+E(Y)+1=0+0+1=1$
- 方差：$D(U)=D(X+Y+1)=D(X)+D(Y)+D(1)=1+1+0=2$
因此，$U\sim N(1,2)$，其概率密度函数为$f_U(u)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}e^{-\frac{(u-1)^2}{2\cdot2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(u-1)^2}{4}}$，$-\infty
步骤 2：求V的概率密度函数
同理，$V=X-Y+1$的期望和方差可以计算如下：
- 期望：$E(V)=E(X-Y+1)=E(X)-E(Y)+1=0-0+1=1$
- 方差：$D(V)=D(X-Y+1)=D(X)+D(Y)+D(1)=1+1+0=2$
因此，$V\sim N(1,2)$，其概率密度函数为$f_V(v)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sqrt{2}}e^{-\frac{(v-1)^2}{2\cdot2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{\pi}}e^{-\frac{(v-1)^2}{4}}$，$-\infty
步骤 3：求U和V的相关系数
- $E(UV)=E[(X+Y+1)(X-Y+1)]=E[X^2-Y^2+2X+1]=E[X^2]-E[Y^2]+2E[X]+1$
- 由于$X$和$Y$独立，$E[X^2]=D(X)+E[X]^2=1+0^2=1$，$E[Y^2]=D(Y)+E[Y]^2=1+0^2=1$，$E[X]=0$，$E[Y]=0$，因此$E(UV)=1-1+0+1=1$
- $Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V)=1-1\cdot1=0$
- 相关系数$\rho_{UV}=\dfrac{Cov(U,V)}{\sqrt{D(U)D(V)}}=\dfrac{0}{\sqrt{2\cdot2}}=0$