某厂生产的灯泡使用寿命寿命 X sim N(2250, 250^2) 分布，现进行质量检查，方法如下：任意挑若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过 2200h，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率超过 0.997，问至少应检查多少个灯泡？

我们来逐步分析并解答这个题目。

题目已知条件：

• 灯泡寿命 $ X \sim N(2250, 250^2) $

  • 即总体服从正态分布，均值 $ \mu = 2250 $ 小时
  • 标准差 $ \sigma = 250 $ 小时

• 质量检查方法：

  • 随机抽取 $ n $ 个灯泡
  • 计算样本平均寿命 $ \bar{X} $
  • 如果 $ \bar{X} > 2200 $，则认为质量合格

• 要求：检查通过的概率 > 0.997

  • 即 $ P(\bar{X} > 2200) > 0.997 $

• 问：至少应检查多少个灯泡？（即求最小的 $ n $）

解题步骤：

第1步：样本均值的分布

根据正态分布的性质，若总体 $ X \sim N(\mu, \sigma^2) $，则样本均值 $ \bar{X} $ 也服从正态分布：

$\bar{X} \sim N\left( \mu, \frac{\sigma^2}{n} \right) = N\left( 2250, \frac{250^2}{n} \right)$

即：
$\bar{X} \sim N\left( 2250, \frac{62500}{n} \right)$

第2步：标准化，求概率

我们要求：
$P(\bar{X} > 2200) > 0.997$

将其标准化。令：
$Z = \frac{\bar{X} - 2250}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 2250}{250 / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$

则：
$P(\bar{X} > 2200) = P\left( Z > \frac{2200 - 2250}{250 / \sqrt{n}} \right) = P\left( Z > \frac{-50}{250 / \sqrt{n}} \right) = P\left( Z > -\frac{\sqrt{n}}{5} \right)$

我们要求：
$P\left( Z > -\frac{\sqrt{n}}{5} \right) > 0.997$

第3步：利用标准正态分布表

我们记：
$P(Z > -a) > 0.997 \quad \text{其中} \quad a = \frac{\sqrt{n}}{5}$

由于标准正态分布对称，有：
$P(Z > -a) = P(Z < a) \quad \text{（因为对称性）}$

所以：
$P(Z < a) > 0.997$

查标准正态分布表，找使得 $ \Phi(a) > 0.997 $ 的最小 $ a $

我们知道：

• $ \Phi(2.75) \approx 0.9970 $

更精确地：

• $ \Phi(2.75) = 0.99702 $
• $ \Phi(2.74) \approx 0.99693 $

所以要使 $ \Phi(a) > 0.997 $，需：
$a > 2.75$

即：
$\frac{\sqrt{n}}{5} > 2.75 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{n} > 13.75 \quad \Rightarrow \quad n > (13.75)^2 = 189.0625$

因此，最小的整数 $ n $ 满足 $ n \geq 190 $

答案：

$\boxed{190}$

结论：

为了使检查通过的概率超过 0.997（即灯泡平均寿命超过 2200 小时的概率大于 0.997），至少应检查 190 个灯泡。