设 X_1, X_2, X_3 是来自总体 X 的一个样本,且 E(X) = mu, D(X) = sigma^2,则下列估计量中是 mu 的无偏估计量的是()A. hat(mu) = (1)/(3)X_1 + (3)/(4)X_2 - (1)/(12)X_3B. hat(mu) = (1)/(3)X_1 + (3)/(4)X_2 + (1)/(12)X_3C. hat(mu) = (1)/(3)X_1 + (1)/(4)X_2 + (5)/(12)X_3D. hat(mu) = (1)/(5)X_1 + (3)/(10)X_2 + (1)/(2)X_3

本题考查无偏估计量的概念及期望的性质。解题的关键在于根据期望的线性性质，计算每个选项中估计量的期望，若期望等于总体均值$\mu$，则该估计量为$\mu$的无偏估计量。

选项A

已知$\hat{\mu} = \frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 - \frac{1}{12}X_3$，根据期望的线性性质$E(aX + bY + cZ)=aE(X)+bE(Y)+cE(Z)$（其中$a,b,c$为常数，$X,Y,Z$为随机变量），可得：
$E(\hat{\mu}) = E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 - \frac{1}{12}X_3)$
$=\frac{1}{3}E(X_1) + \frac{3}{4}E(X_2) - \frac{1}{12}E(X_3)$
因为$X_1, X_2, X_3$是来自总体$X$的样本，所以$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=E(X)=\mu$，代入上式可得：
$E(\hat{\mu})=\frac{1}{3}\mu + \frac{3}{4}\mu - \frac{1}{12}\mu$
$=(\frac{1}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{12})\mu$
$=(\frac{4}{12} + \frac{9}{12} - \frac{1}{12})\mu$
$=\frac{12}{12}\mu=\mu$
所以选项A中的$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。

选项B

已知$\hat{\mu} = \frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 + \frac{1}{12}X_3$，同理可得：
$E(\hat{\mu}) = E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{3}{4}X_2 + \frac{1}{12}X_3)$
$=\frac{1}{3}E(X_1) + \frac{3}{4}E(X_2) + \frac{1}{12}E(X_3)$
将$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$代入上式可得：
$E(\hat{\mu})=\frac{1}{3}\mu + \frac{3}{4}\mu + \frac{1}{12}\mu$
$=(\frac{1}{3} + \frac{3}{4} + \frac{1}{12})\mu$
$=(\frac{4}{12} + \frac{9}{12} + \frac{1}{12})\mu$
$=\frac{14}{12}\mu=\frac{7}{6}\mu\neq\mu$
所以选项B中的$\hat{\mu}$不是$\mu$的无偏估计量。

选项C

已知$\hat{\mu} = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3$，同理可得：
$E(\hat{\mu}) = E(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + \frac{5}{12}X_3)$
$=\frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + \frac{5}{12}E(X_3)$
将$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$代入上式可得：
$E(\hat{\mu})=\frac{1}{3}\mu + \frac{1}{4}\mu + \frac{5}{12}\mu$
$=(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12})\mu$
$=(\frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12})\mu$
$=\frac{12}{12}\mu=\mu$
所以选项C中的$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。

选项D

已知$\hat{\mu} = \frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3$，同理可得：
$E(\hat{\mu}) = E(\frac{1}{5}X_1 + \frac{3}{10}X_2 + \frac{1}{2}X_3)$
$=\frac{1}{5}E(X_1) + \frac{3}{10}E(X_2) + \frac{1}{2}E(X_3)$
将$E(X_1)=E(X_2)=E(X_3)=\mu$代入上式可得：
$E(\hat{\mu})=\frac{1}{5}\mu + \frac{3}{10}\mu + \frac{1}{2}\mu$
$=(\frac{1}{5} + \frac{3}{10} + \frac{1}{2})\mu$
$=(\frac{2}{10} + \frac{3}{10} + \frac{5}{10})\mu$
$=\frac{10}{10}\mu=\mu$
所以选项D中的$\hat{\mu}$是$\mu$的无偏估计量。