10.单选题已知lim_(ntoinfty)(1-(1)/(2^2))(1-(1)/(3^2))(1-(1)/(4^2))...(1-(1)/(n^2))=____A. 1B. (1)/(4)C. (1)/(3)D. (1)/(2)

本题考查数列极限的计算，解题思路是先对数列的通项公式进行化简，然后通过化简后的式子找出数列的规律，最后计算极限。

步骤一：对通项公式进行化简

已知数列的通项公式为$a_{n}=(1 - \frac{1}{2^{2}})(1 - \frac{1}{3^{2}})(1 - \frac{1}{4^{2}})\cdots(1 - \frac{1}{n^{2}})$。
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，对每一项$1 - \frac{1}{k^{2}}$进行化简：
$1 - \frac{1}{k^{2}}=\frac{k^{2}-1}{k^{2}}=\frac{(k - 1)(k + 1)}{k^{2}}$
则$a_{n}=\frac{1\times3}{2^{2}}\times\frac{2\times4}{3^{2}}\times\frac{3\times5}{4^{2}}\times\cdots\times\frac{(n - 1)(n + 1)}{n^{2}}$。

步骤二：找出数列的规律并化简

观察上式可以发现，很多项可以进行约分。
分子分母中相同的项约去后，$a_{n}=\frac{1}{2}\times\frac{n + 1}{n}$。

步骤三：计算极限

求$\lim_{n\to\infty}a_{n}$，即$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\times\frac{n + 1}{n}$。
根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(c\cdot f(n)) = c\cdot\lim_{n\to\infty}f(n)$（$c$为常数），可得：
$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}\times\frac{n + 1}{n}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n + 1}{n}$
再将$\frac{n + 1}{n}$变形为$1 + \frac{1}{n}$，则$\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n + 1}{n}=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})$。
根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(f(n)+g(n)) = \lim_{n\to\infty}f(n)+\lim_{n\to\infty}g(n)$，可得：
$\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}(1 + \frac{1}{n})=\frac{1}{2}(\lim_{n\to\infty}1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n})$
因为$\lim_{n\to\infty}1 = 1$，$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0$，所以$\frac{1}{2}(\lim_{n\to\infty}1 + \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n})=\frac{1}{2}(1 + 0)=\frac{1}{2}$。