题目

(7)lim_(xto0)((1)/(x)sin x+xsin(1)/(x));

(7)$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}\sin x+x\sin\frac{1}{x}\right);$

题目解答

答案

将原式分解为两部分：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \sin x + x \sin \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}.$
对于第一部分，由重要极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$
对于第二部分，由于 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 内有界，而 $x \to 0$ 时 $x \to 0$，故
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$
将两部分结果相加，得
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \sin x + x \sin \frac{1}{x} \right) = 1 + 0 = 1.$
答案： 1

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是利用极限的四则运算法则将原式拆分为两个极限的和，再分别计算这两个极限。

  1. 利用极限的四则运算法则拆分原式：
    根据极限的加法法则，若$\lim_{x\to a} f(x)$和$\lim_{x\to a} g(x)$都存在，则$\lim_{x\to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x\to a} f(x) + \lim_{x\to a} g(x)$。
    对于$\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{x}\sin x+x\sin\frac{1}{x}\right)$，令$f(x)=\frac{1}{x}\sin x$，$g(x)=x\sin\frac{1}{x}$，则有：
    $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \sin x + x \sin \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
  2. 计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$：
    这是一个重要极限，根据重要极限公式$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，可得：
    $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
  3. 计算$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$：
    因为正弦函数的值域是$[-1, 1]$，所以$\sin \frac{1}{x}$在$x\to 0$的过程中始终满足$-1\leqslant\sin\frac{1}{x}\leqslant 1$，即$\sin \frac{1}{x}$是有界函数。
    而当$x\to 0$时，$x$是无穷小量。
    根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量这一性质，可得：
    $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$
  4. 将两部分结果相加：
    将$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$和$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$代入$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \sin x + x \sin \frac{1}{x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} + \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$，可得：
    $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} \sin x + x \sin \frac{1}{x} \right) = 1 + 0 = 1$