17.计算极限lim_(xto+infty)x^2(ln(3+x^2)-ln x^2).（8分）<|im_end|>●请输入内容或上传图片...
题目解答
答案
题目分析
我们需要计算极限：
$\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \ln(3 + x^2) - \ln x^2 \right)$
首先观察表达式，当 $x \to +\infty$ 时，$x^2 \to +\infty$，而括号内的部分 $\ln(3 + x^2) - \ln x^2$ 是两个趋于无穷大的对数之差。我们可以利用对数的性质将其合并，从而简化问题。
步骤 1：利用对数性质化简
根据对数的运算法则 $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$，可以将原式中的括号部分合并：
$\ln(3 + x^2) - \ln x^2 = \ln \left( \frac{3 + x^2}{x^2} \right) = \ln \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)$
此时，原极限式可以改写为：
$\lim_{x \to +\infty} x^2 \ln \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)$
步骤 2：变量代换
为了更清晰地看出极限的形式，我们可以令 $t = \frac{1}{x^2}$。
当 $x \to +\infty$ 时，$x^2 \to +\infty$，所以 $t \to 0^+$。
将 $x^2 = \frac{1}{t}$ 代入极限式中，得到：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t} \ln(1 + 3t) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 + 3t)}{t}$
步骤 3：利用等价无穷小求极限
当 $t \to 0$ 时，根据等价无穷小替换公式，$\ln(1 + 3t) \sim 3t$。
因此，我们可以将分子替换为 $3t$ 来计算极限：
$\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 + 3t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{3t}{t} = 3$
最终结果
该极限的计算结果为：
$\lim_{x \to +\infty} x^2 \left( \ln(3 + x^2) - \ln x^2 \right) = 3$
解析
本题考查对数函数的性质、变量代换以及等价无穷小在求极限中的应用。解题思路是先利用对数运算法则对原式进行化简，再通过变量代换将复杂的极限形式转化为常见的形式，最后利用等价无穷小求出极限。
- 利用对数性质化简：
根据对数运算法则$\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$，对原式$\lim_{x\to+\infty}x^{2}(\ln(3+x^{2})-\ln x^{2})$中的括号部分进行化简：
$\ln(3 + x^2) - \ln x^2 = \ln \left( \frac{3 + x^2}{x^2} \right) = \ln \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)$
此时原极限式变为$\lim_{x\to+\infty}x^{2}\ln \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)$。 - 变量代换：
令$t = \frac{1}{x^2}$，当$x\to+\infty$时，$x^2\to+\infty$，那么$t\to 0^+$。
将$x^2 = \frac{1}{t}$代入极限式$\lim_{x\to+\infty}x^{2}\ln \left( 1 + \frac{3}{x^2} \right)$中，得到：
$\lim_{t\to 0^+}\frac{1}{t}\ln(1 + 3t)=\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1 + 3t)}{t}$ - 利用等价无穷小求极限：
当$t\to 0$时，等价无穷小$\ln(1 + 3t) \sim 3t$。
将分子$\ln(1 + 3t)$替换为$3t$，则$\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1 + 3t)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\frac{3t}{t}$。
对$\lim_{t\to 0^+}\frac{3t}{t}$进行计算，约去$t$可得：$\lim_{t\to 0^+}\frac{3t}{t}=\lim_{t\to 0^+}3 = 3$。