题目
设 X_1, X_2, ldots X_n 为总体 N(1,2^2) 的一个样本, overline(X) 为样本均值,则下列结论正确的是()A. (overline(X)-1)/(2/sqrt(n)) sim t(n)B. (1)/(4)sum_(i=1)^n(X_i-1)^2 sim F(n,1)C. (overline(X)-1)/(sqrt(2)/sqrt(n)) sim N(0,1)D. (1)/(4)sum_(i=1)^n(X_i-1)^2 sim chi^2(n)
设 $X_1, X_2, \ldots X_n$ 为总体 $N(1,2^2)$ 的一个样本, $\overline{X}$ 为样本均值,则下列结论正确的是()
A. $\frac{\overline{X}-1}{2/\sqrt{n}} \sim t(n)$
B. $\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(X_i-1)^2 \sim F(n,1)$
C. $\frac{\overline{X}-1}{\sqrt{2}/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$
D. $\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(X_i-1)^2 \sim \chi^2(n)$
题目解答
答案
D. $\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}(X_i-1)^2 \sim \chi^2(n)$
解析
步骤 1：分析选项A
$\overline{X} \sim N\left(1, \frac{4}{n}\right)$，标准化后 $\frac{\overline{X} - 1}{2 / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，非 t 分布，错误。
步骤 2：分析选项B
$\frac{(X_i - 1)^2}{4} \sim \chi^2(1)$，求和得 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，非 F 分布，错误。
步骤 3：分析选项C
标准化后方差为 2，非标准正态分布，错误。
步骤 4：分析选项D
由选项B分析，$\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，正确。
$\overline{X} \sim N\left(1, \frac{4}{n}\right)$，标准化后 $\frac{\overline{X} - 1}{2 / \sqrt{n}} \sim N(0, 1)$，非 t 分布，错误。
步骤 2：分析选项B
$\frac{(X_i - 1)^2}{4} \sim \chi^2(1)$，求和得 $\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，非 F 分布，错误。
步骤 3：分析选项C
标准化后方差为 2，非标准正态分布，错误。
步骤 4：分析选项D
由选项B分析，$\frac{1}{4} \sum_{i=1}^{n} (X_i - 1)^2 \sim \chi^2(n)$，正确。