各主成分间的相关系数矩阵为()。A. 协方差矩阵B. 正交矩阵C. 单位矩阵D. 半正定矩阵

本题考查主成分分析中主成分间相关系数矩阵的性质。解题思路是明确主成分的定义和性质，根据主成分的正交性来推导其相关系数矩阵。

步骤一：明确主成分的性质

在主成分分析中，主成分是原始变量的线性组合，并且各主成分之间是相互正交的。设第 $i$ 个主成分 $Y_i$ 和第 $j$ 个主成分 $Y_j$，根据正交性可知它们的协方差 $\text{Cov}(Y_i, Y_j)=0$（$i\neq j$）。

步骤二：计算主成分间的相关系数

相关系数的计算公式为 $\rho_{ij}=\frac{\text{Cov}(Y_i, Y_j)}{\sqrt{\text{Var}(Y_i)\text{Var}(Y_j)}}$。

• 当 $i = j$ 时，$\text{Cov}(Y_i, Y_i)=\text{Var}(Y_i)$，则 $\rho_{ii}=\frac{\text{Cov}(Y_i, Y_i)}{\sqrt{\text{Var}(Y_i)\text{Var}(Y_i)}} = 1$。
• 当 $i\neq j$ 时，由于 $\text{Cov}(Y_i, Y_j)=0$，所以 $\rho_{ij}=\frac{\text{Cov}(Y_i, Y_j)}{\sqrt{\text{Var}(Y_i)\text{Var}(Y_j)}} = 0$。

步骤三：确定相关系数矩阵

将各主成分间的相关系数排列成矩阵形式，得到的矩阵主对角线元素为 $1$，非主对角线元素为 $0$，这正是单位矩阵的定义。所以各主成分间的相关系数矩阵为单位矩阵。