(18)(本题满分12分)求f(x，y，z)=x^2+y^2+z^2满足z^2=x^2+y^2-1和z=2x-y-1的最小值.

考查要点：本题主要考查条件极值的求解方法，涉及代数消元法和拉格朗日乘数法的应用，同时需要结合二次曲面与平面的交线进行几何分析。

解题核心思路：

1. 代入消元：利用约束条件$z=2x-y-1$消去变量$z$，将问题转化为关于$x$和$y$的优化问题。
2. 目标函数转化：将目标函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$代入约束条件，得到仅含$x$和$y$的表达式。
3. 极值求解：通过分析特殊点或构造拉格朗日函数，找到满足约束条件的极值点，验证最小值。

破题关键点：

• 代入约束条件简化问题，将三维问题转化为二维优化。
• 观察特殊点（如$(0,-1,0)$和$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5},0\right)$）直接验证最小值。
• 拉格朗日乘数法的系统求解，确保所有可能的极值点被覆盖。

步骤1：代入约束条件消元

将$z=2x-y-1$代入$z^2=x^2+y^2-1$，展开并整理得：
$3x^2 -4xy -4x +2y +2 =0.$
此时目标函数变为：
$f(x,y,z)=x^2+y^2+(2x-y-1)^2=5x^2+2y^2-4xy-4x+2y+1.$

步骤2：寻找特殊点

通过观察或代入特殊值，发现以下两点满足约束条件：

1. 点$(0,-1,0)$：

   • 代入约束条件验证：$z^2=0=0^2+(-1)^2-1$，$z=2\cdot0-(-1)-1=0$。
   • 目标函数值：$f=0^2+(-1)^2+0^2=1$。

2. 点$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5},0\right)$：

   • 代入约束条件验证：$z^2=0=\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2-1$，$z=2\cdot\frac{4}{5}-\frac{3}{5}-1=0$。
   • 目标函数值：$f=\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(\frac{3}{5}\right)^2+0^2=1$。

步骤3：拉格朗日乘数法验证

构造拉格朗日函数：
$L=x^2+y^2+z^2+\lambda(z^2-x^2-y^2+1)+\mu(z-2x+y+1).$
对$x,y,z$求偏导并解方程组，最终得到两组解：

1. $(0,-1,0)$和$\left(\frac{4}{5},\frac{3}{5},0\right)$，均对应$f=1$。
2. 其他情况无实数解。