7.（单选题，5.0分）极限lim_(xto0)(int_(0)^xarctan2tdt)/(x^2)=____。A. 1B. (1)/(2)C. (1)/(3)D. 0

本题考查知识点为洛必达法则以及变上限积分求导。解题思路是先判断极限的类型，若为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则可使用洛必达法则对分子分母分别求导后再求极限。

1. 判断极限类型：
   当$x\to0$时，分子$\int_{0}^{x}\arctan2tdt$，令$F(x)=\int_{0}^{x}\arctan2tdt$，则$F(0)=\int_{0}^{0}\arctan2tdt = 0$；分母$x^{2}\to0$。
   所以$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\arctan2tdt}{x^{2}}$是$\frac{0}{0}$型极限。

2. 使用洛必达法则：
   根据洛必达法则，对于$\frac{0}{0}$型极限$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}$，有$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$（其中$f^\prime(x)$和$g^\prime(x)$分别是$f(x)$和$g(x)$的导数）。
   对分子$\int_{0}^{x}\arctan2tdt$求导，根据变上限积分求导公式$(\int_{a}^{x}f(t)dt)^\prime = f(x)$，可得$(\int_{0}^{x}\arctan2tdt)^\prime=\arctan2x$；
   对分母$x^{2}$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$(x^{2})^\prime = 2x$。
   则$\lim_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}\arctan2tdt}{x^{2}}=\lim_{x\to0}\frac{\arctan2x}{2x}$。

3. 再次判断极限类型并使用等价无穷小替换：
   当$x\to0$时，$\arctan2x\to0$，$2x\to0$，$\lim_{x\to0}\frac{\arctan2x}{2x}$仍是$\frac{0}{0}$型极限。
   当$u\to0$时，$\arctan u\sim u$，这里$u = 2x$，当$x\to0$时，$u\to0$，所以$\arctan2x\sim 2x$。
   则$\lim_{x\to0}\frac{\arctan2x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{2x}=1$。