题目
某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批食品能否出厂(a=?
某种大量生产的袋装食品,按规定不得少于250克。今从一批该食品中任意抽取50袋,发现有6袋低于250克。若规定不符合标准的比例超过5%就不得出厂,问该批食品能否出厂(a=?
题目解答
答案
解:
(1分)
假设:(1分)
(2分)
拒绝原假设,该批食品不能出厂。(1分)
解析
步骤 1：定义假设
我们首先定义原假设和备择假设。原假设是该批食品的不合格比例不超过5%，即$\pi \leqslant 0.05$。备择假设是该批食品的不合格比例超过5%，即$\pi > 0.05$。
步骤 2：计算样本比例
从样本中，我们发现有6袋低于250克，样本量为50袋。因此，样本中不合格的比例为$\hat{\pi} = \frac{6}{50} = 0.12$。
步骤 3：计算检验统计量
我们使用Z检验来检验样本比例是否显著大于0.05。检验统计量Z的计算公式为：
$$Z = \frac{\hat{\pi} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$$
其中，$\hat{\pi}$是样本比例，$\pi_0$是原假设中的比例，n是样本量。将数值代入公式，得到：
$$Z = \frac{0.12 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{0.00095}} = \frac{0.07}{0.0308} \approx 2.27$$
步骤 4：确定临界值
对于单侧检验，显著性水平$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得到临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 5：比较检验统计量和临界值
计算得到的检验统计量$Z = 2.27$大于临界值$Z_{0.05} = 1.645$，因此我们拒绝原假设。
我们首先定义原假设和备择假设。原假设是该批食品的不合格比例不超过5%，即$\pi \leqslant 0.05$。备择假设是该批食品的不合格比例超过5%，即$\pi > 0.05$。
步骤 2：计算样本比例
从样本中，我们发现有6袋低于250克，样本量为50袋。因此，样本中不合格的比例为$\hat{\pi} = \frac{6}{50} = 0.12$。
步骤 3：计算检验统计量
我们使用Z检验来检验样本比例是否显著大于0.05。检验统计量Z的计算公式为：
$$Z = \frac{\hat{\pi} - \pi_0}{\sqrt{\frac{\pi_0(1-\pi_0)}{n}}}$$
其中，$\hat{\pi}$是样本比例，$\pi_0$是原假设中的比例，n是样本量。将数值代入公式，得到：
$$Z = \frac{0.12 - 0.05}{\sqrt{\frac{0.05(1-0.05)}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{\frac{0.05 \times 0.95}{50}}} = \frac{0.07}{\sqrt{0.00095}} = \frac{0.07}{0.0308} \approx 2.27$$
步骤 4：确定临界值
对于单侧检验，显著性水平$\alpha = 0.05$，查标准正态分布表得到临界值$Z_{0.05} = 1.645$。
步骤 5：比较检验统计量和临界值
计算得到的检验统计量$Z = 2.27$大于临界值$Z_{0.05} = 1.645$，因此我们拒绝原假设。