5.设某供电网有一万盏电灯,夜晚每盏电灯开灯的概率均为0.1,并且彼此开闭与否-|||-相互独立.试用切比雪夫不等式和中心极限定理分别估算夜晚同时开灯数在970到1030之-|||-间的概率.

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式和中心极限定理的应用，涉及二项分布的期望与方差计算，以及正态分布的近似计算。

解题核心思路：

1. 切比雪夫不等式：通过计算二项分布的期望和方差，利用不等式估计随机变量落在期望附近某个区间的概率下限。
2. 中心极限定理：将二项分布近似为正态分布，通过标准化转化为标准正态分布的概率计算。

破题关键点：

• 识别二项分布模型：每盏灯开灯为伯努利试验，总开灯数服从二项分布。
• 切比雪夫不等式的应用：明确不等式形式，确定参数$k$的取值。
• 中心极限定理的应用：将二项分布转化为正态分布，计算标准化后的$Z$值并查表。

切比雪夫不等式估算

1. 确定分布参数
   总开灯数$X = \sum_{i=1}^{10000} X_i \sim B(10000, 0.1)$，其中$E(X) = 1000$，$D(X) = 900$，标准差$\sigma = \sqrt{900} = 30$。

2. 应用切比雪夫不等式
   目标区间$[970, 1030]$对应$|X - 1000| \leq 30$，即$k = \frac{30}{\sigma} = 1$。
   根据不等式：
   $P(|X - 1000| \leq 30) \geq 1 - \frac{1}{k^2} = 1 - 1 = 0.$
   结论：概率下限为$0$（实际概率更高，但切比雪夫无法精确估计）。

中心极限定理估算

1. 正态近似
   由中心极限定理，$X \sim N(1000, 900)$，即$X \sim N(1000, 30^2)$。

2. 标准化与概率计算

   • 上限$1030$对应$Z_1 = \frac{1030 - 1000}{30} = 1$，对应$\Phi(1) \approx 0.8413$。
   • 下限$970$对应$Z_2 = \frac{970 - 1000}{30} = -1$，对应$\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 0.1587$。
   • 概率为：
     $P(970 \leq X \leq 1030) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826.$