5.设随机变量X的分布律为-|||-X 1 2 3 4-|||-pk 0.2 0.3 0.4 0.1-|||-求X的分布函数,并求F(2.5).

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布函数的定义及分段表达式的构建方法，以及如何利用分布函数计算特定点的取值。

解题核心思路：

1. 分布函数的定义：分布函数$F(x)$表示随机变量$X$取值不超过$x$的概率，即$F(x) = P(X \leq x)$。
2. 离散型分布函数的特点：在每个可能取值点$x_i$处，函数值发生跳跃，跳跃高度为$p_i$，且函数在区间$[x_i, x_{i+1})$上保持恒定。
3. 分段处理：根据随机变量的可能取值点，将实数轴划分为若干区间，在每个区间内累加对应概率值。

破题关键点：

• 明确分布函数的分段点（即随机变量的可能取值）。
• 在每个区间内正确累加对应概率值。
• 注意区间左闭右开的特性（如$1 \leq x < 2$）。

分布函数$F(x)$的构建

1. 当$x < 1$时：
   $X$的所有取值均大于$x$，因此$F(x) = 0$。

2. 当$1 \leq x < 2$时：
   $X$只能取$1$，因此$F(x) = P(X \leq 1) = 0.2$。

3. 当$2 \leq x < 3$时：
   $X$可以取$1$和$2$，因此$F(x) = P(X \leq 2) = 0.2 + 0.3 = 0.5$。

4. 当$3 \leq x < 4$时：
   $X$可以取$1$、$2$和$3$，因此$F(x) = P(X \leq 3) = 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9$。

5. 当$x \geq 4$时：
   $X$的所有取值均不超过$x$，因此$F(x) = 1$。

计算$F(2.5)$

• $2.5$位于区间$[2, 3)$内，对应$F(x) = 0.5$。