用两种不同分析方法对矿石中铁的质量分数进行分析，得到的两组数据如下： ¯x s n 方法1 15.34% 0.10% 11 方法2 15.43% 0.12% 11 在置信度为 90% 时，两组数据的标准偏差是否存在显著性差异？在置信度分别为 90%、95% 及 99% 时，两组分析结果的平均值是否存在显著性差异？

步骤 1：检验标准偏差的显著性差异
为了检验两组数据的标准偏差是否存在显著性差异，我们使用F检验。F检验的统计量为：
\[ F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \]
其中，\(s_1\) 和 \(s_2\) 分别是两组数据的标准偏差。在本例中，\(s_1 = 0.10\%\)，\(s_2 = 0.12\%\)。因此，
\[ F = \frac{0.10^2}{0.12^2} = \frac{0.01}{0.0144} = 0.6944 \]
步骤 2：确定F检验的临界值
在置信度为90%时，自由度为\(n_1 - 1 = 10\)和\(n_2 - 1 = 10\)，查F分布表得到临界值\(F_{0.90,10,10} = 2.98\)。由于F检验是双尾检验，我们还需要考虑\(1/F_{0.90,10,10} = 1/2.98 = 0.3356\)。
步骤 3：比较F值与临界值
由于\(0.3356 < 0.6944 < 2.98\)，所以两组数据的标准偏差在90%置信度下不存在显著性差异。
步骤 4：检验平均值的显著性差异
为了检验两组数据的平均值是否存在显著性差异，我们使用t检验。t检验的统计量为：
\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]
其中，\(\bar{x}_1\) 和 \(\bar{x}_2\) 分别是两组数据的平均值。在本例中，\(\bar{x}_1 = 15.34\%\)，\(\bar{x}_2 = 15.43\%\)。因此，
\[ t = \frac{15.34 - 15.43}{\sqrt{\frac{0.10^2}{11} + \frac{0.12^2}{11}}} = \frac{-0.09}{\sqrt{\frac{0.01}{11} + \frac{0.0144}{11}}} = \frac{-0.09}{\sqrt{0.0018545}} = \frac{-0.09}{0.0431} = -2.088 \]
步骤 5：确定t检验的临界值
在置信度为90%时，自由度为\(n_1 + n_2 - 2 = 20\)，查t分布表得到临界值\(t_{0.90,20} = 1.725\)。由于t检验是双尾检验，我们还需要考虑\(-t_{0.90,20} = -1.725\)。
步骤 6：比较t值与临界值
由于\(-2.088 < -1.725\)，所以两组数据的平均值在90%置信度下存在显著性差异。
步骤 7：重复步骤5和6，分别在置信度为95%和99%时，查t分布表得到临界值\(t_{0.95,20} = 2.086\)和\(t_{0.99,20} = 2.845\)。由于\(-2.088 < -2.086\)，所以两组数据的平均值在95%置信度下不存在显著性差异。由于\(-2.088 > -2.845\)，所以两组数据的平均值在99%置信度下不存在显著性差异。