题目

设总体X的均值存在，但未知，从总体X中抽取容量的样本，样本均值，样本方差，求的置信度为0.95的近似单侧置信下限.

设总体X的均值 $\mu$ 存在，但 $\mu$ 未知，从总体X中抽取容量 $n=100$ 的样本，样本均值 $\overline{x}=0.5$ ，样本方差 $s^2=4.84$ ，求 $\mu$ 的置信度为0.95的近似单侧置信下限. $u_{0.05}=1.645$

题目解答

答案

样本容量 $n=100$ ，即大样本，近似服从正态分布，样本均值 $\overline{x}=0.5$ ，样本方差 $s^2=4.84$ ，则样本标准差为 $s=2.2$ ，置信度为0.95，则置信水平 $\alpha=1-0.95=0.05$ ，总体标准差未知，则 $\mu$ 的置信度为0.95的近似单侧置信下限 $\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}z_{\alpha}=0.5-\frac{2.2}{\sqrt{100}}z_{0.05}$ $=0.5-0.22\times1.645=0.1381$ ，则 $\mu$ 的置信度为0.95的近似单侧置信下限为0.1381。

解析

步骤 1：确定样本容量和样本统计量
样本容量n=100，样本均值$\overline {x}=0.5$，样本方差${s}^{2}=4.84$，样本标准差s=2.2。

步骤 2：确定置信水平和临界值
置信度为0.95，置信水平$\alpha =1-0.95=0.05$，临界值$u_{0.05}=1.645$。

步骤 3：计算单侧置信下限
单侧置信下限的计算公式为$\overline {x}-\dfrac {s}{\sqrt {n}}{z}_{\alpha }$，代入已知值计算。
$\overline {x}-\dfrac {s}{\sqrt {n}}{z}_{\alpha }=0.5-\dfrac {2.2}{\sqrt {100}}\times 1.645=0.5-0.22\times 1.645=0.5-0.3619=0.1381$。