题目

3.(8分)设随机变量X~N(0,4)，Y~B(100,0.1)且ρ_(XY)=-(1)/(2)。又设Z=2X-(1)/(3)Y，试求D(Z)及Cov(X,Z)。

3.(8分)设随机变量X~N(0,4)，Y~B(100,0.1)且$ρ_{XY}=-\frac{1}{2}$。又设$Z=2X-\frac{1}{3}Y$，试求D(Z)及Cov(X,Z)。

题目解答

答案

为了求解 $D(Z)$ 和 $\text{Cov}(X,Z)$，我们首先需要利用随机变量 $X$ 和 $Y$ 的性质以及它们之间的相关系数。下面我们将分步进行解答。

步骤1：求 $D(Z)$

已知 $Z = 2X - \frac{1}{3}Y$，我们利用方差的性质来求 $D(Z)$。方差的性质包括：

  1. $D(aX) = a^2D(X)$
  2. $D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2\text{Cov}(X, Y)$

首先，我们需要知道 $D(X)$ 和 $D(Y)$：

  • $X \sim N(0, 4)$，所以 $D(X) = 4$。
  • $Y \sim B(100, 0.1)$，所以 $D(Y) = 100 \times 0.1 \times (1 - 0.1) = 9$。

接下来，我们需要知道 $\text{Cov}(X, Y)$：

  • 相关系数 $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$，所以 $\text{Cov}(X, Y) = \rho_{XY} \sqrt{D(X)D(Y)} = -\frac{1}{2} \times \sqrt{4 \times 9} = -\frac{1}{2} \times 6 = -3$。

现在我们可以求 $D(Z)$：
$D(Z) = D\left(2X - \frac{1}{3}Y\right) = D(2X) + D\left(-\frac{1}{3}Y\right) + 2\text{Cov}\left(2X, -\frac{1}{3}Y\right)$
$D(Z) = 4D(X) + \left(-\frac{1}{3}\right)^2D(Y) + 2 \times 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right) \text{Cov}(X, Y)$
$D(Z) = 4 \times 4 + \frac{1}{9} \times 9 + 2 \times 2 \times \left(-\frac{1}{3}\right) \times (-3)$
$D(Z) = 16 + 1 + 4 = 21$

步骤2：求 $\text{Cov}(X,Z)$

利用协方差的性质 $\text{Cov}(X, aY) = a\text{Cov}(X, Y)$ 和 $\text{Cov}(X, X) = D(X)$，我们求 $\text{Cov}(X,Z)$：
$\text{Cov}(X,Z) = \text{Cov}\left(X, 2X - \frac{1}{3}Y\right) = \text{Cov}(X, 2X) + \text{Cov}\left(X, -\frac{1}{3}Y\right)$
$\text{Cov}(X,Z) = 2\text{Cov}(X, X) + \left(-\frac{1}{3}\right)\text{Cov}(X, Y)$
$\text{Cov}(X,Z) = 2D(X) - \frac{1}{3}\text{Cov}(X, Y)$
$\text{Cov}(X,Z) = 2 \times 4 - \frac{1}{3} \times (-3)$
$\text{Cov}(X,Z) = 8 + 1 = 9$

最终答案

$\boxed{21}$
$\boxed{9}$