设 F(x) = e^2x 是函数 f(x) 的一个原函数，则 int x f'(x) , dx = ( ).A. e^2x ( (1)/(2)x - 1 ) + CB. e^2x (2x - 1) + CC. e^2x ( (1)/(2)x + 1 ) + CD. e^2x (2x + 1) + C

本题考查原函数的概念、求导公式以及分部积分法的应用。解题的关键在于先根据原函数的定义求出$f(x)$和$f^\prime(x)$，再利用分部积分法计算$\int x f^\prime(x) \, dx$。

1. 根据原函数的定义求$f(x)$和$f^\prime(x)$：
   已知$F(x) = e^{2x}$是函数$f(x)$的一个原函数，根据原函数的定义，若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则$f(x)=F^\prime(x)$。
   对$F(x) = e^{2x}$求导，根据复合函数求导公式$(e^{u})^\prime=e^{u}\cdot u^\prime$，这里$u = 2x$，$u^\prime = 2$，可得$f(x)=F^\prime(x)=(e^{2x})^\prime=e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}$。
   再对$f(x)=2e^{2x}$求导，同样根据复合函数求导公式，可得$f^\prime(x)=(2e^{2x})^\prime=2\cdot e^{2x}\cdot 2 = 4e^{2x}$。
2. 计算$\int x f^\prime(x) \, dx$：
   将$f^\prime(x) = 4e^{2x}$代入$\int x f^\prime(x) \, dx$，可得$\int x f^\prime(x) \, dx = \int x \cdot 4e^{2x} \, dx = 4 \int x e^{2x} \, dx$。
   下面使用分部积分法计算$\int x e^{2x} \, dx$，分部积分公式为$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
   令$u = x$，$dv = e^{2x} \, dx$。
   • 对$u = x$求导，可得$du = dx$。
   • 对$dv = e^{2x} \, dx$积分，根据$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C$（$a\neq0$），可得$v = \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x}$。
     将$u$、$v$、$du$、$dv$代入分部积分公式，可得：
     $\int x e^{2x} \, dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx$
     对$\int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx$进行计算，$\int \frac{1}{2}e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} = \frac{1}{4}e^{2x}$。
     所以$\int x e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} = \frac{1}{4} e^{2x} (2x - 1)$。
     则$4 \int x e^{2x} \, dx = 4\times\frac{1}{4} e^{2x} (2x - 1) = e^{2x} (2x - 1)$。
     也可以直接使用分部积分公式$\int x f^\prime(x) \, dx = x f(x) - \int f(x) \, dx$。
     将$f(x)=2e^{2x}$代入可得：
     $\int x f^\prime(x) \, dx = x\cdot 2e^{2x} - \int 2e^{2x} \, dx$
     对$\int 2e^{2x} \, dx$进行计算，$\int 2e^{2x} \, dx = 2\int e^{2x} \, dx = 2\times\frac{1}{2}e^{2x} = e^{2x}$。
     所以$\int x f^\prime(x) \, dx = x\cdot 2e^{2x} - e^{2x} = e^{2x} (2x - 1)$，最后加上常数$C$，即$\int x f^\prime(x) \, dx = e^{2x} (2x - 1) + C$。