题目

设有数集S=mathbb(R)backslash-1，在其上定义运算：a*b=a+b+ab。证明：S关于* 构成群。

设有数集$S=\mathbb{R}\backslash\{-1\}$，在其上定义运算：$a*b=a+b+ab$。 证明：$S$关于*$ $构成群。

题目解答

答案

设 $ S = \mathbb{R} \setminus \{-1\} $，运算 $ a * b = a + b + ab $。

  1. 封闭性：
    对任意 $ a, b \in S $，$ a * b = a + b + ab $。若 $ a * b = -1 $，则 $ (a + 1)(b + 1) = 0 $，但 $ a, b \neq -1 $，故 $ a * b \neq -1 $，封闭性成立。

  2. 结合律：
    $ (a * b) * c = (a + b + ab) * c = a + b + ab + c + ac + bc + abc $，
    $ a * (b * c) = a * (b + c + bc) = a + b + c + bc + ab + ac + abc $，
    两者相等，结合律成立。

  3. 单位元：
    $ a * e = a + e + ae = a $，解得 $ e = 0 $，且 $ 0 \in S $，单位元为 $ 0 $。

  4. 逆元：
    $ a * a^{-1} = a + a^{-1} + aa^{-1} = 0 $，解得 $ a^{-1} = \frac{-a}{1 + a} $，且 $ a^{-1} \neq -1 $，逆元存在。

结论：$ S $ 关于 $ * $ 构成群。

$\boxed{(S, *) \text{ 是群}}$

解析

本题考察群的定义及验证方法，需依次验证数集$S=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$关于运算$*$满足封闭性、结合律、存在单位元、每个元素存在逆元这四个条件。

1. 封闭性验证

运算$*$定义为$a*b=a+b+ab$，可变形为$a*b=(a+1)(b+1)-1$（因式分解：$a+b+ab=(a+1)(b+1)-1$）。
对任意$a,b\in S$，有$a\neq-1$且$b\neq-1$，故$a+1\neq0$、$b+1\neq0$，则$(a+1)(b+1)\neq0$，从而$a*b=(a+1)(b+1)-1\neq-1$，即$a*b\in S$，封闭性成立。

2. 结合律验证

计算$(a*b)*c$和$a*(b*c)$：

  • $(a*b)*c=(a+b+ab)*c=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=a+b+c+ab+ac+bc+abc$
  • $a*(b*c)=a*(b+c+bc)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+ab+ac+abc$
    两者结果相同，结合律成立。

3. 单位元验证

单位元$e$需满足$a*e=a$对所有$a\in S$成立：
$a*e=a+e+ae=a$，化简得$e(1+a)=0$。因$a\neq-1$（$a\in S$），$1+a\neq0$，故$e=0$。
验证$0\in S$（$0\neq-1$），且$a*0=a+0+a\cdot0=a$，单位元存在（$e=0$）。

4. 逆元验证

对任意$a\in S$，逆元$a^{-1}$需满足$a*a^{-1}=e=0$：
$a+a^{-1}+aa^{-1}=0$，整理得$a^{-1}(1+a)=-a$。因$a\neq-1$，$1+a\neq0$，故$a^{-1}=-\frac{a}{1+a}$。
验证$a^{-1}\in S$：若$a^{-1}=-1$，则$-\frac{a}{1+a}=-1\Rightarrow a=1+a\Rightarrow0=1$，矛盾，故$a^{-1}\neq-1$，逆元存在。