21.单选题(4分)当xto0时，无穷小量xsin(1)/(x)是A. 无法与sin x比较的无穷小量B. 比sin x低阶的无穷小量C. 与sin x同阶的无穷小量D. 比sin x高阶的无穷小量

本题考查无穷小量阶的比较这一知识点。解题思路是根据无穷小量阶的比较定义，通过求两个无穷小量之比的极限来判断它们之间的阶的关系。若极限为$0$，则分子是比分母高阶的无穷小量；若极限为无穷大，则分子是比分母低阶的无穷小量；若极限为非零常数，则分子与分母是同阶无穷小量；若极限不存在且不为无穷大，则两个无穷小量无法比较。

下面我们来计算$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x\sin\frac{1}{x}}{\sin x}$的值：

• 当$x\to0$时，$\sin x\sim x$（等价无穷小替换），则原式可化为$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x\sin\frac{1}{x}}{x}$。
• 对$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x\sin\frac{1}{x}}{x}$进行化简，约去分子分母的$x$，得到$\lim\limits_{x \to 0} \sin\frac{1}{x}$。
• 当$x\to0$时，$\frac{1}{x}\to\infty$，而正弦函数$\sin t$在$t\to\infty$时，函数值在$[-1,1]$之间不断波动，极限不存在且不为无穷大。

所以$x\sin\frac{1}{x}$与$\sin x$是无法比较的无穷小量。