题目
八.(本题满分8分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.(_(0.025)=1.96, _(0.05)=1.645, _(0.025)(35)=2.0301,(_(0.025)=1.96, _(0.05)=1.645, _(0.025)(35)=2.0301,.
八.(本题满分8分)
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.
.
题目解答
答案
解:(1)原假设
,备择假设
,此为双侧假设检验问题。
(2)在
为真时,
,
(3)在显著水平
下,拒绝域
,
(4)将
代入得
,
所以接受原假设,即接受平均成绩为70分.
2013-2014合肥校区概率论与数理统计B卷
解析
步骤 1：设定假设
原假设${H}_{0}:\mu =70$，即全体考生的平均成绩为70分。
备择假设${H}_{1}:\mu \neq 70$，即全体考生的平均成绩不为70分。
步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，样本量为36，属于小样本，因此选择t检验统计量。
步骤 3：计算检验统计量的值
根据题目给出的数据，样本均值$\overline {x}=66.5$，样本标准差$S=15$，样本量$n=36$。
计算t统计量的值：$t=\dfrac {\overline {x}-\mu }{S/\sqrt {n}}=\dfrac {66.5-70}{15/\sqrt {36}}=\dfrac {-3.5}{15/6}=\dfrac {-3.5}{2.5}=-1.4$。
步骤 4：确定拒绝域
在显著性水平$\alpha =0.05$下，自由度为$n-1=35$，查t分布表得${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
因此，拒绝域为$|t|>{t}_{0.025}(35)=2.0301$。
步骤 5：做出决策
计算得到的t统计量值为-1.4，落在拒绝域之外，因此不拒绝原假设${H}_{0}$。
原假设${H}_{0}:\mu =70$，即全体考生的平均成绩为70分。
备择假设${H}_{1}:\mu \neq 70$，即全体考生的平均成绩不为70分。
步骤 2：选择检验统计量
由于总体方差未知，样本量为36，属于小样本，因此选择t检验统计量。
步骤 3：计算检验统计量的值
根据题目给出的数据，样本均值$\overline {x}=66.5$，样本标准差$S=15$，样本量$n=36$。
计算t统计量的值：$t=\dfrac {\overline {x}-\mu }{S/\sqrt {n}}=\dfrac {66.5-70}{15/\sqrt {36}}=\dfrac {-3.5}{15/6}=\dfrac {-3.5}{2.5}=-1.4$。
步骤 4：确定拒绝域
在显著性水平$\alpha =0.05$下，自由度为$n-1=35$，查t分布表得${t}_{0.025}(35)=2.0301$。
因此，拒绝域为$|t|>{t}_{0.025}(35)=2.0301$。
步骤 5：做出决策
计算得到的t统计量值为-1.4，落在拒绝域之外，因此不拒绝原假设${H}_{0}$。