11.（8.0分）X、Y是两个随机变量，下列结果正确的是：A. 若X、Y相关，则X、Y一定不独立；B. 若D(X-Y)=DX+DY，则X、Y独立.C. 若X、Y不独立，则X、Y一定相关；D. 若E(XY)=EX·EY，则X、Y独立.

本题主要考查随机变量的相关性与独立性之间的关系，解题的关键在于明确相关系数、方差公式以及独立性的定义，并通过这些知识来判断各个选项的正确性。

选项A

• 首先明确随机变量相关的定义：若随机变量 $X$ 和 $Y$ 相关，则它们的相关系数 $\rho_{XY} \neq 0$。
• 相关系数的计算公式为 $\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$，其中 $Cov(X,Y)$ 是 $X$ 和 $Y$ 的协方差，$D(X)$ 和 $D(Y)$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的方差。
• 若 $X$ 和 $Y$ 独立，根据独立随机变量的性质可知 $Cov(X,Y) = 0$，那么 $\rho_{XY}=0$，这与 $X$、$Y$ 相关（$\rho_{XY} \neq 0$）矛盾。
• 所以，若 $X$、$Y$ 相关，则 $X$、$Y$ 一定不独立，选项A正确。

选项B

• 根据方差的性质 $D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$。
• 已知 $D(X - Y)=D(X)+D(Y)$，则可得 $D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$。
• 化简该等式：
  • 两边同时减去 $D(X)+D(Y)$，得到 $-2Cov(X,Y)=0$，即 $Cov(X,Y)=0$。
  • $Cov(X,Y)=0$ 只能说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，但不相关并不一定意味着 $X$ 和 $Y$ 独立。例如，设 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$，此时 $Cov(X,Y)=0$，但 $Y$ 完全由 $X$ 确定，$X$ 和 $Y$ 不独立。所以选项B错误。

选项C

• 若 $X$、$Y$ 不独立，不能直接得出 $X$、$Y$ 一定相关。
• 同样以 $X$ 服从 $[-1,1]$ 上的均匀分布，$Y = X^2$ 为例，$Y$ 依赖于 $X$，所以 $X$ 和 $Y$ 不独立，但通过计算可以得到 $Cov(X,Y)=0$，即 $X$ 和 $Y$ 不相关。所以选项C错误。

选项D

• 若 $E(XY)=EX\cdot EY$，根据协方差的定义 $Cov(X,Y)=E(XY)-EX\cdot EY$，可得 $Cov(X,Y)=0$。
• 如前面所述，$Cov(X,Y)=0$ 只能说明 $X$ 和 $Y$ 不相关，而不相关不能推出 $X$ 和 $Y$ 独立。所以选项D错误。