题目
(1)设随机变量X满足 ^3sim N((1.7)^2), 记标准正态分布函数为ϕ(x),则-|||- 1lt Xlt 2 的值为 () .-|||-A. (2)-(1) B. Phi (sqrt [3](2))-(1) C. (1)-0.5 D. bigcirc (1)(sqrt [3](3))-(1-sqrt (1))(sqrt [3](2))
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解随机变量X的分布
随机变量X满足 ${Y}^{3}\sim N({1.7}^{2})$，这意味着Y的立方服从均值为1.7，方差为1的正态分布。因此，Y的分布可以表示为 $Y\sim N(1.7, 1)$。
步骤 2：转换随机变量X的分布
由于 $Y\sim N(1.7, 1)$，我们可以通过变换将Y转换为标准正态分布。设 $Z = \frac{Y - 1.7}{1}$，则 $Z\sim N(0, 1)$。因此，$Y = Z + 1.7$。
步骤 3：计算概率 $P\{ 1\lt X\lt 2\}$
由于 $X = Y^{1/3}$，我们需要计算 $P\{ 1\lt Y^{1/3}\lt 2\}$。这等价于计算 $P\{ 1\lt Y\lt 8\}$。由于 $Y = Z + 1.7$，我们有 $P\{ 1\lt Z + 1.7\lt 8\}$，即 $P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\}$。由于Z服从标准正态分布，我们有 $P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\} = \Phi(6.3) - \Phi(-0.7)$。由于标准正态分布函数是偶函数，我们有 $\Phi(-0.7) = 1 - \Phi(0.7)$。因此，$P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\} = \Phi(6.3) - (1 - \Phi(0.7)) = \Phi(6.3) + \Phi(0.7) - 1$。由于 $\Phi(6.3)$ 接近于1，我们可以近似为 $\Phi(0.7) - 0.5$。
随机变量X满足 ${Y}^{3}\sim N({1.7}^{2})$，这意味着Y的立方服从均值为1.7，方差为1的正态分布。因此，Y的分布可以表示为 $Y\sim N(1.7, 1)$。
步骤 2：转换随机变量X的分布
由于 $Y\sim N(1.7, 1)$，我们可以通过变换将Y转换为标准正态分布。设 $Z = \frac{Y - 1.7}{1}$，则 $Z\sim N(0, 1)$。因此，$Y = Z + 1.7$。
步骤 3：计算概率 $P\{ 1\lt X\lt 2\}$
由于 $X = Y^{1/3}$，我们需要计算 $P\{ 1\lt Y^{1/3}\lt 2\}$。这等价于计算 $P\{ 1\lt Y\lt 8\}$。由于 $Y = Z + 1.7$，我们有 $P\{ 1\lt Z + 1.7\lt 8\}$，即 $P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\}$。由于Z服从标准正态分布，我们有 $P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\} = \Phi(6.3) - \Phi(-0.7)$。由于标准正态分布函数是偶函数，我们有 $\Phi(-0.7) = 1 - \Phi(0.7)$。因此，$P\{ -0.7\lt Z\lt 6.3\} = \Phi(6.3) - (1 - \Phi(0.7)) = \Phi(6.3) + \Phi(0.7) - 1$。由于 $\Phi(6.3)$ 接近于1，我们可以近似为 $\Phi(0.7) - 0.5$。