2【多选题】设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P(X=x_(i),Y=y_(j))=p_(ij),其中i=1,2,j=1,2。若p_(11)=0.1,p_(12)=0.2,p_(21)=0.3,p_(22)=0.4,下列关于X+Y的分布的说法中哪些是正确的?A. P(X+Y=2)=0.1B. P(X+Y=3)=0.5C. P(X+Y=4)=0.4D. P(X+Y=1)=0E. P(X+Y=2)=0.3

本题考查二维离散型随机变量函数的分布，解题思路是先确定$X + Y$的所有可能取值，再根据联合分布律计算每个取值的概率。

已知二维离散型随机变量$(X,Y)$的联合分布律为$P(X = x_{i},Y = y_{j}) = p_{ij}$，其中$i = 1,2$，$j = 1,2$，且$p_{11}=0.1$，$p_{12}=0.2$，$p_{21}=0.3$，$p_{22}=0.4$。

• 步骤一：确定$X + Y$的所有可能取值
  $X$的取值为$x_1,x_2$，$Y$的取值为$y_1,y_2$，则$X + Y$的可能取值为$x_1 + y_1$，$x_1 + y_2$，$x_2 + y_1$，$x_2 + y_2$。由于$i = 1,2$，$j = 1,2$，所以$X + Y$的可能取值为$2$（$x_1 + y_1$），$3$（$x_1 + y_2$或$x_2 + y_1$），$4$（$x_2 + y_2$），不可能取到$1$。
• 步骤二：计算$X + Y$取每个值的概率
  • $P(X + Y = 1)$：因为$X + Y$不可能取到$1$，所以$P(X + Y = 1)=0$，故选项D正确。
  • $P(X + Y = 2)$：$X + Y = 2$意味着$X = x_1$且$Y = y_1$，根据联合分布律可得$P(X + Y = 2)=P(X = x_1,Y = y_1)=p_{11}=0.1$，故选项A正确，选项E错误。
  • $P(X + Y = 3)$：$X + Y = 3$有两种情况，即$\{X = x_1,Y = y_2\}$和$\{X = x_2,Y = y_1\}$，这两个事件互斥，根据互斥事件的概率加法公式可得$P(X + Y = 3)=P(X = x_1,Y = y_2)+P(X = x_2,Y = y_1)=p_{12}+p_{21}=0.2 + 0.3 = 0.5$，故选项B正确。
  • $P(X + Y = 4)$：$X + Y = 4$意味着$X = x_2$且$Y = y_2$，根据联合分布律可得$P(X + Y = 4)=P(X = x_2,Y = y_2)=p_{22}=0.4$，故选项C正确。