题目
已知随机变量X、Y相互独立，则下列等式正确的是（）。A. cov( X , Y ) = 0 B. D ( 5X+Y ) = 5D ( X ) +D ( Y ) C.E ( 3X+2Y+2 ) = 3E ( X ) + 2E ( Y ) D.sqrt (D(5X+3Y))=5sqrt (D(X))+3sqrt (D(Y))
已知随机变量X、Y相互独立，则下列等式正确的是（）。
A. cov( X , Y ) = 0
B. D ( 5X+Y ) = 5D ( X ) +D ( Y )
C.E ( 3X+2Y+2 ) = 3E ( X ) + 2E ( Y )
D.
题目解答
答案
对于A，∵随机变量X、Y相互独立
∴Cov（X，Y）=0，故A正确；
对于B，∵D ( 5X+Y ) =25D（X）+D（Y）+10Cov（X，Y）
∴D ( 5X+Y ) =25D（X）+D（Y），故B错误；
对于C，∵E ( 3X+2Y+2 ) = 3E ( X ) + 2E ( Y )+2，故C错误；
对于D，∵
，故D错误；
故答案为：A。
解析
步骤 1：理解随机变量X、Y相互独立的含义
随机变量X、Y相互独立意味着X和Y的联合概率分布等于它们各自边缘概率分布的乘积。在数学上，这意味着它们的协方差为零，即cov(X,Y) = 0。
步骤 2：分析选项A
根据随机变量X、Y相互独立的性质，cov(X,Y) = 0，因此选项A是正确的。
步骤 3：分析选项B
对于随机变量的方差，有公式D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。由于X、Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此D(5X+Y) = 25D(X) + D(Y)，选项B是错误的。
步骤 4：分析选项C
对于随机变量的期望，有公式E(aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c。因此E(3X+2Y+2) = 3E(X) + 2E(Y) + 2，选项C是错误的。
步骤 5：分析选项D
对于随机变量的方差，有公式D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。由于X、Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此$\sqrt{D(5X+3Y)} = \sqrt{25D(X) + 9D(Y)}$，选项D是错误的。
随机变量X、Y相互独立意味着X和Y的联合概率分布等于它们各自边缘概率分布的乘积。在数学上，这意味着它们的协方差为零，即cov(X,Y) = 0。
步骤 2：分析选项A
根据随机变量X、Y相互独立的性质，cov(X,Y) = 0，因此选项A是正确的。
步骤 3：分析选项B
对于随机变量的方差，有公式D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。由于X、Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此D(5X+Y) = 25D(X) + D(Y)，选项B是错误的。
步骤 4：分析选项C
对于随机变量的期望，有公式E(aX+bY+c) = aE(X) + bE(Y) + c。因此E(3X+2Y+2) = 3E(X) + 2E(Y) + 2，选项C是错误的。
步骤 5：分析选项D
对于随机变量的方差，有公式D(aX+bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2abCov(X,Y)。由于X、Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，因此$\sqrt{D(5X+3Y)} = \sqrt{25D(X) + 9D(Y)}$，选项D是错误的。