题目
2、(12分)已知R.V.xisim N(10,4).试求概率P(xi<-2.8),Pxi>11,P9<xi<13
2、(12分)已知R.V.$\xi\sim N(10,4)$.试求概率P{$\xi<-2.8$},
$P\{\xi>11\}$,$P\{9<\xi<13\}$
题目解答
答案
已知 $ \xi \sim N(10, 4) $，即 $ \mu = 10 $，$ \sigma = 2 $。
1. $ P\{\xi < -2.8\} $：
\[
Z = \frac{-2.8 - 10}{2} = -6.4 \quad \Rightarrow \quad P\{Z < -6.4\} \approx 0
\]
2. $ P\{\xi > 11\} $：
\[
Z = \frac{11 - 10}{2} = 0.5 \quad \Rightarrow \quad P\{Z > 0.5\} = 1 - \Phi(0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085
\]
3. $ P\{9 < \xi < 13\} $：
\[
Z_1 = \frac{9 - 10}{2} = -0.5, \quad Z_2 = \frac{13 - 10}{2} = 1.5
\]
\[
P\{-0.5 < Z < 1.5\} = \Phi(1.5) - \Phi(-0.5) = \Phi(1.5) + \Phi(0.5) - 1 = 0.9332 + 0.6915 - 1 = 0.6247
\]
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
P\{\xi < -2.8\} \approx 0 \\
P\{\xi > 11\} = 0.3085 \\
P\{9 < \xi < 13\} = 0.6247 \\
\end{array}
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化转换、标准正态分布表的使用以及区间概率的计算。
解题核心思路：
- 标准化转换：将非标准正态分布变量转化为标准正态变量$Z$，利用公式$Z = \frac{\xi - \mu}{\sigma}$。
- 查标准正态分布表：根据计算出的$Z$值，查找对应的累积概率$\Phi(Z)$。
- 区间概率计算：通过$\Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)$计算区间概率，注意处理单边概率时的转换（如$P(Z > z) = 1 - \Phi(z)$）。
破题关键点：
- 正确计算标准化后的$Z$值，避免符号错误。
- 理解标准正态分布表的使用逻辑，尤其是负值$Z$对应的累积概率。
- 处理超出表格范围的$Z$值（如$Z = -6.4$时概率趋近于$0$）。
1. $P\{\xi < -2.8\}$
标准化转换
$Z = \frac{-2.8 - 10}{2} = -6.4$
概率分析
标准正态分布中，$Z = -6.4$对应的概率极小，超出常见表格范围，因此可近似为$0$。
2. $P\{\xi > 11\}$
标准化转换
$Z = \frac{11 - 10}{2} = 0.5$
概率计算
$P\{Z > 0.5\} = 1 - \Phi(0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$
3. $P\{9 < \xi < 13\}$
标准化转换
$Z_1 = \frac{9 - 10}{2} = -0.5, \quad Z_2 = \frac{13 - 10}{2} = 1.5$
概率计算
$P\{-0.5 < Z < 1.5\} = \Phi(1.5) - \Phi(-0.5)$
利用对称性$\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5)$，得：
$\Phi(1.5) - (1 - \Phi(0.5)) = \Phi(1.5) + \Phi(0.5) - 1 = 0.9332 + 0.6915 - 1 = 0.6247$