题目
3.若X~N(-1,16)，则P(|X|<4)=____(Phi(1.25)=0.8944，Phi(0.75)=0.7734)
3.若X~N(-1,16)，则P(|X|<4)=____
($\Phi(1.25)=0.8944$，$\Phi(0.75)=0.7734$)
题目解答
答案
将 $ X $ 标准化为 $ Z $，其中 $ Z = \frac{X + 1}{4} $。
计算得：
\[ Z_1 = \frac{-4 + 1}{4} = -0.75, \quad Z_2 = \frac{4 + 1}{4} = 1.25 \]
利用标准正态分布表：
\[ P(-0.75 < Z < 1.25) = \Phi(1.25) - \Phi(-0.75) = \Phi(1.25) - [1 - \Phi(0.75)] \]
代入已知值：
\[ \Phi(1.25) = 0.8944, \quad \Phi(0.75) = 0.7734 \]
\[ P(-0.75 < Z < 1.25) = 0.8944 - (1 - 0.7734) = 0.6678 \]
答案：$\boxed{0.6678}$
解析
考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换、标准正态分布函数的查表应用以及对称性性质。
解题核心思路：
- 标准化：将原正态变量$X$转化为标准正态变量$Z$，利用公式$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
- 事件转换：将$|X| < 4$转化为关于$Z$的不等式范围。
- 查表计算：通过标准正态分布函数$\Phi$的值，结合对称性计算概率。
破题关键点：
- 正确标准化：注意均值$\mu = -1$和标准差$\sigma = 4$的代入。
- 处理负数Z值：利用$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$简化计算。
步骤1：标准化变量
已知$X \sim N(-1, 16)$，即$\mu = -1$，$\sigma = 4$。标准化公式为：
$Z = \frac{X + 1}{4}$
步骤2：确定Z的范围
事件$|X| < 4$等价于$-4 < X < 4$。代入标准化公式：
- 当$X = -4$时，$Z_1 = \frac{-4 + 1}{4} = -0.75$
- 当$X = 4$时，$Z_2 = \frac{4 + 1}{4} = 1.25$
因此，概率转化为：
$P(-0.75 < Z < 1.25)$
步骤3：计算概率
利用标准正态分布函数$\Phi$：
$P(-0.75 < Z < 1.25) = \Phi(1.25) - \Phi(-0.75)$
根据对称性$\Phi(-0.75) = 1 - \Phi(0.75)$，代入已知值：
$\Phi(1.25) = 0.8944, \quad \Phi(0.75) = 0.7734$
计算得：
$\Phi(-0.75) = 1 - 0.7734 = 0.2266$
最终概率为：
$0.8944 - 0.2266 = 0.6678$