题目
设随机变量 X sim N(1,4)，且 Phi(0.5)= 0.6915, Phi(1.5)= 0.9332，则 P(|X| > 2)= ( )A. 0.7B. 0.05C. 0.5D. 0.3753
设随机变量 $X \sim N(1,4)$，且 $\Phi(0.5)= 0.6915, \Phi(1.5)= 0.9332$，则 $P(|X| > 2)= (\quad)$
A. 0.7
B. 0.05
C. 0.5
D. 0.3753
题目解答
答案
D. 0.3753
解析
步骤 1：标准化随机变量 $X$
由于 $X \sim N(1, 4)$，其均值 $\mu = 1$ 和方差 $\sigma^2 = 4$，因此标准差 $\sigma = 2$。标准正态变量 $Z$ 可以表示为：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{2} \] $Z \sim N(0, 1)$。
步骤 2：求 $P(X > 2)$
将 $X = 2$ 标准化，得到：\[ Z = \frac{2 - 1}{2} = 0.5 \] 因此，\[ P(X > 2) = P(Z > 0.5) \] 由于标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 表示 $P(Z \leq z)$，我们有：\[ P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \leq 0.5) = 1 - \Phi(0.5) \] 已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，所以：\[ P(Z > 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085 \]
步骤 3：求 $P(X < -2)$
将 $X = -2$ 标准化，得到：\[ Z = \frac{-2 - 1}{2} = -1.5 \] 因此，\[ P(X < -2) = P(Z < -1.5) \] 由于标准正态分布是对称的，我们有：\[ P(Z < -1.5) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z \leq 1.5) = 1 - \Phi(1.5) \] 已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，所以：\[ P(Z < -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \]
步骤 4：求 $P(|X| > 2)$
\[ P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2) = 0.3085 + 0.0668 = 0.3753 \]
由于 $X \sim N(1, 4)$，其均值 $\mu = 1$ 和方差 $\sigma^2 = 4$，因此标准差 $\sigma = 2$。标准正态变量 $Z$ 可以表示为：\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 1}{2} \] $Z \sim N(0, 1)$。
步骤 2：求 $P(X > 2)$
将 $X = 2$ 标准化，得到：\[ Z = \frac{2 - 1}{2} = 0.5 \] 因此，\[ P(X > 2) = P(Z > 0.5) \] 由于标准正态分布函数 $\Phi(z)$ 表示 $P(Z \leq z)$，我们有：\[ P(Z > 0.5) = 1 - P(Z \leq 0.5) = 1 - \Phi(0.5) \] 已知 $\Phi(0.5) = 0.6915$，所以：\[ P(Z > 0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085 \]
步骤 3：求 $P(X < -2)$
将 $X = -2$ 标准化，得到：\[ Z = \frac{-2 - 1}{2} = -1.5 \] 因此，\[ P(X < -2) = P(Z < -1.5) \] 由于标准正态分布是对称的，我们有：\[ P(Z < -1.5) = P(Z > 1.5) = 1 - P(Z \leq 1.5) = 1 - \Phi(1.5) \] 已知 $\Phi(1.5) = 0.9332$，所以：\[ P(Z < -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \]
步骤 4：求 $P(|X| > 2)$
\[ P(|X| > 2) = P(X > 2) + P(X < -2) = 0.3085 + 0.0668 = 0.3753 \]