题目

12、设随机变量X~N(10，0.02²)，已知Phi(x)=int_(-infty)^x(1)/(sqrt(2pi))e^-(u^(2)/(2))du，Phi(2.5)=0.9938，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为_____.

12、设随机变量X~N(10，0.02²)，已知$\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^{2}}{2}}du$，$\Phi(2.5)=0.9938$，则X落在区间(9.95，10.05)内的概率为_____.

题目解答

答案

已知 $X \sim N(10, 0.02^2)$，标准化得 $Z = \frac{X - 10}{0.02} \sim N(0, 1)$。 将区间转换为标准正态变量： \[ Z_1 = \frac{9.95 - 10}{0.02} = -2.5, \quad Z_2 = \frac{10.05 - 10}{0.02} = 2.5 \] 求概率： \[ P(-2.5 < Z < 2.5) = \Phi(2.5) - \Phi(-2.5) = 2\Phi(2.5) - 1 = 2 \times 0.9938 - 1 = 0.9876 \] **答案：** $\boxed{0.9876}$

解析

考查要点：本题主要考查正态分布的概率计算，涉及标准化变换及标准正态分布函数Φ(x)的应用。

解题核心思路：

  1. 标准化：将给定区间转化为标准正态变量Z的范围；
  2. 利用对称性：通过Φ(2.5)计算两侧的概率差值，或直接利用对称性简化计算。

破题关键点：

  • 正确应用标准化公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$；
  • 理解标准正态分布的对称性，即 $\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$；
  • 将区间概率转化为 $\Phi(2.5) - \Phi(-2.5)$ 或 $2\Phi(2.5) - 1$。

  1. 标准化处理
    随机变量 $X \sim N(10, 0.02^2)$，标准化后得：
    $Z = \frac{X - 10}{0.02} \sim N(0, 1)$
    将区间 $(9.95, 10.05)$ 转换为标准正态变量范围：
    $Z_1 = \frac{9.95 - 10}{0.02} = -2.5, \quad Z_2 = \frac{10.05 - 10}{0.02} = 2.5$

  2. 计算概率
    所求概率为：
    $P(-2.5 < Z < 2.5) = \Phi(2.5) - \Phi(-2.5)$
    利用标准正态分布的对称性 $\Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5)$，代入已知 $\Phi(2.5) = 0.9938$：
    $P(-2.5 < Z < 2.5) = 0.9938 - (1 - 0.9938) = 2 \times 0.9938 - 1 = 0.9876$