题目
6.3 假设X1,X2,···,Xn为来自均值为μ,方差为σ^2的总体的样本.记 ^2=-|||-sum _(i=1)^n(({X)_(i)-overline (X))}^2/(n-1), 即S^2为样本方差,证明-|||-(1) ^2=dfrac (1)(n-1)[ sum _(i=1)^n({X)_(i)}^2-noverline ({X)^2}] ;-|||-(2) ((S)^2)=(sigma )^2.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 ${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}[ \sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n{\overline {X}}^{2}]$
首先，我们从样本方差的定义出发，即 ${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$。其中，$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ 是样本均值。接下来，我们对 ${S}^{2}$ 进行展开。
步骤 2：展开 ${S}^{2}$
将 ${S}^{2}$ 展开，我们有：
$(n-1){S}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}({{X}_{i}}^{2}-2\overline {X}{X}_{i}+{\overline {X}}^{2})$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-2\overline {X}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}+n{\overline {X}}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-2n{\overline {X}}^{2}+n{\overline {X}}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n{\overline {X}}^{2}$
步骤 3：证明 $E({S}^{2})={\sigma }^{2}$
接下来，我们证明样本方差的期望等于总体方差。首先，我们计算 $E({{X}_{i}}^{2})$ 和 $E({\overline {X}}^{2})$。
$E({{X}_{i}}^{2})=Var(X_{i})+[E(X_{i})]^{2}={\sigma }^{2}+{\mu }^{2}$
$E({\overline {X}}^{2})=Var(\overline {X})+[E(\overline {X})]^{2}=\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}+{\mu }^{2}$
然后，我们利用期望的线性性质计算 $E({S}^{2})$。
$E({S}^{2})=\dfrac {1}{n-1}[ \sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})-nE({\overline {X}}^{2})]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ \sum _{i=1}^{n}({\sigma }^{2}+{\mu }^{2})-n(\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}+{\mu }^{2})]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ n{\sigma }^{2}+n{\mu }^{2}-{\sigma }^{2}-n{\mu }^{2}]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ (n-1){\sigma }^{2}]$
$={\sigma }^{2}$
首先，我们从样本方差的定义出发，即 ${S}^{2}=\dfrac {1}{n-1}\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$。其中，$\overline {X}=\dfrac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ 是样本均值。接下来，我们对 ${S}^{2}$ 进行展开。
步骤 2：展开 ${S}^{2}$
将 ${S}^{2}$ 展开，我们有：
$(n-1){S}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{({X}_{i}-\overline {X})}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}({{X}_{i}}^{2}-2\overline {X}{X}_{i}+{\overline {X}}^{2})$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-2\overline {X}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}+n{\overline {X}}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-2n{\overline {X}}^{2}+n{\overline {X}}^{2}$
$=\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}-n{\overline {X}}^{2}$
步骤 3：证明 $E({S}^{2})={\sigma }^{2}$
接下来，我们证明样本方差的期望等于总体方差。首先，我们计算 $E({{X}_{i}}^{2})$ 和 $E({\overline {X}}^{2})$。
$E({{X}_{i}}^{2})=Var(X_{i})+[E(X_{i})]^{2}={\sigma }^{2}+{\mu }^{2}$
$E({\overline {X}}^{2})=Var(\overline {X})+[E(\overline {X})]^{2}=\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}+{\mu }^{2}$
然后，我们利用期望的线性性质计算 $E({S}^{2})$。
$E({S}^{2})=\dfrac {1}{n-1}[ \sum _{i=1}^{n}E({{X}_{i}}^{2})-nE({\overline {X}}^{2})]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ \sum _{i=1}^{n}({\sigma }^{2}+{\mu }^{2})-n(\dfrac {{\sigma }^{2}}{n}+{\mu }^{2})]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ n{\sigma }^{2}+n{\mu }^{2}-{\sigma }^{2}-n{\mu }^{2}]$
$=\dfrac {1}{n-1}[ (n-1){\sigma }^{2}]$
$={\sigma }^{2}$