题目

(4)证明在样本的一切线性组合中，overline(X)=(1)/(n)sum_(i=1)^nX_(i)是总体期望值μ的无偏估计中有效的估计量.

(4)证明在样本的一切线性组合中，$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}$是总体期望值μ的无偏估计中有效的估计量.

题目解答

答案

设 $T = \sum_{i=1}^n a_i X_i$ 是样本的线性组合，为使 $T$ 是 $\mu$ 的无偏估计，需满足 $E(T) = \mu$，即 $\sum_{i=1}^n a_i = 1$。 计算方差 $D(T) = \sigma^2 \sum_{i=1}^n a_i^2$，在约束 $\sum_{i=1}^n a_i = 1$ 下最小化 $\sum_{i=1}^n a_i^2$。 使用拉格朗日乘数法求解，得到 $a_i = \frac{1}{n}$，此时 $T = \overline{X}$，方差为 $\frac{\sigma^2}{n}$，最小。 因此，$\overline{X}$ 是 $\mu$ 的有效估计量。 \[ \boxed{\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i} \]

解析

考查要点：本题主要考查无偏估计的有效性证明，涉及线性组合的无偏性条件和方差最小化的优化问题。

解题核心思路：

  1. 无偏性条件：线性组合的系数和必须为1。
  2. 方差计算：利用独立同分布假设，将方差表示为系数平方和的函数。
  3. 优化方法：通过拉格朗日乘数法或柯西-施瓦茨不等式，证明系数相等时方差最小。

破题关键点：

  • 约束条件：$\sum a_i = 1$ 是无偏性的必要条件。
  • 方差最小化：在约束下，$\sum a_i^2$ 的最小值对应所有系数相等，即$a_i = \frac{1}{n}$。

1. 无偏性条件

设线性组合为 $T = \sum_{i=1}^n a_i X_i$，要使其是$\mu$的无偏估计，需满足：
$E(T) = \sum_{i=1}^n a_i E(X_i) = \sum_{i=1}^n a_i \mu = \mu \sum_{i=1}^n a_i = \mu.$
因此，约束条件为：
$\sum_{i=1}^n a_i = 1.$

2. 方差计算

假设总体方差为$\sigma^2$，且样本独立，则：
$D(T) = \sum_{i=1}^n a_i^2 D(X_i) = \sigma^2 \sum_{i=1}^n a_i^2.$
目标是在约束$\sum a_i = 1$下，最小化$\sum a_i^2$。

3. 优化问题求解

方法一：拉格朗日乘数法

构造拉格朗日函数：
$L = \sum_{i=1}^n a_i^2 - \lambda \left( \sum_{i=1}^n a_i - 1 \right).$
对每个$a_i$求偏导并令其为0：
$\frac{\partial L}{\partial a_i} = 2a_i - \lambda = 0 \quad \Rightarrow \quad a_i = \frac{\lambda}{2}.$
代入约束条件$\sum a_i = 1$：
$n \cdot \frac{\lambda}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{2}{n} \quad \Rightarrow \quad a_i = \frac{1}{n}.$

方法二：柯西-施瓦茨不等式

由柯西-施瓦茨不等式：
$\left( \sum_{i=1}^n a_i \cdot 1 \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n 1^2 \right),$
即：
$1^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \cdot n \quad \Rightarrow \quad \sum_{i=1}^n a_i^2 \geq \frac{1}{n}.$
当且仅当$a_i = \frac{1}{n}$时取等号，此时方差最小为$\frac{\sigma^2}{n}$。

4. 结论

当$a_i = \frac{1}{n}$时，线性组合$T = \overline{X}$是无偏估计中方差最小的，即有效估计量。