随机变量X和Y相互独立,则X和Y不相关;反之也成立。这句话是A. 正确B. 错误

考查要点：本题主要考查随机变量独立性与不相关性的关系，需明确两者之间的区别与联系。

核心思路：

1. 独立必不相关：若随机变量$X$和$Y$独立，则它们的协方差为$0$，即不相关。
2. 不相关不一定独立：不相关仅说明线性无关，但可能存在非线性依赖关系，此时变量仍不独立。

破题关键：
通过反例（如$Y = X^2$）说明不相关不必然推出独立，从而判断原命题错误。

独立与不相关的定义：

• 独立：$X$和$Y$的联合概率分布可分解为边缘分布的乘积，即$f_{X,Y}(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。
• 不相关：协方差$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0$，即线性无关。

正向成立的证明：
若$X$和$Y$独立，则$E[XY] = E[X]E[Y]$，因此$\text{Cov}(X,Y) = 0$，即不相关。

反向不成立的反例：
设$X \sim N(0,1)$，$Y = X^2$，则：

1. $\text{Cov}(X,Y) = E[X \cdot X^2] - E[X]E[X^2] = E[X^3] - 0 \cdot E[X^2] = 0$（因$X$对称，$E[X^3] = 0$）。
2. 但$Y$完全由$X$决定，显然$X$和$Y$不独立。

结论：原命题的逆命题不成立，故题目描述错误。