题目
设_(1),(X)_(2),(X)_(3)为来自总体_(1),(X)_(2),(X)_(3)的简单随机样本，求统计量_(1),(X)_(2),(X)_(3)服从什么分布.
设
为来自总体
的简单随机样本，求统计量
服从什么分布.
题目解答
答案
∵为来自总体的简单随机样本
∴均服从
且相互独立.
由一维正态分布的独立可加性可得：
即
.
标准化可得：
.
∵
，由
分布的定义可得：
.
∵相互独立，
∴
也相互独立
由t分布的定义及其典型模式可得：
.
化简得：
.
即
.
解析
步骤 1：确定X1, X2, X3的分布
X1, X2, X3为来自总体$X\sim N(0,1)$的简单随机样本，因此X1, X2, X3均服从标准正态分布$N(0,1)$，且相互独立。
步骤 2：求X1-X2的分布
由于X1和X2均服从$N(0,1)$，且相互独立，根据正态分布的性质，X1-X2服从$N(0,2)$，即$X_1-X_2\sim N(0,2)$。
步骤 3：标准化X1-X2
将$X_1-X_2$标准化，得到$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
步骤 4：确定X3的平方分布
由于$X_3\sim N(0,1)$，根据卡方分布的定义，$X_3^2\sim \chi^2(1)$。
步骤 5：确定S的分布
由于$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$X_3^2\sim \chi^2(1)$，且$X_1-X_2$与$X_3$相互独立，根据t分布的定义，$\dfrac{\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\dfrac{X_3^2}{1}}}\sim t(1)$，即$S=\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}|X_3|}\sim t(1)$。
X1, X2, X3为来自总体$X\sim N(0,1)$的简单随机样本，因此X1, X2, X3均服从标准正态分布$N(0,1)$，且相互独立。
步骤 2：求X1-X2的分布
由于X1和X2均服从$N(0,1)$，且相互独立，根据正态分布的性质，X1-X2服从$N(0,2)$，即$X_1-X_2\sim N(0,2)$。
步骤 3：标准化X1-X2
将$X_1-X_2$标准化，得到$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$。
步骤 4：确定X3的平方分布
由于$X_3\sim N(0,1)$，根据卡方分布的定义，$X_3^2\sim \chi^2(1)$。
步骤 5：确定S的分布
由于$\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}\sim N(0,1)$，$X_3^2\sim \chi^2(1)$，且$X_1-X_2$与$X_3$相互独立，根据t分布的定义，$\dfrac{\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\dfrac{X_3^2}{1}}}\sim t(1)$，即$S=\dfrac{X_1-X_2}{\sqrt{2}|X_3|}\sim t(1)$。