题目
9.2为了研究合金钢的强度Y与含碳量X(%)的关系,收集了92组生产数据(见下-|||-页钢强度试验数据表).假设这些数据服从一元线性回归模型-|||-_(1)=(beta )_(0)+(beta )_(1)(x)_(i)+(e)_(i) , _(i)-N(0,(sigma )^2) =1,... ,92,-|||-这里e,相互独立.应用计算机统计软件完成下列问题.-|||-(1)求β0和β1的最小二乘估计,并写出经验回归方程.-|||-(2)作回归方程的显著性检验,列出方差分析表(取 alpha =0.05.-|||-(3)求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间.-|||-(4)求含碳量 _(0)=0.1 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95%的预测区间.-|||-钢强度试验数据表-|||-序号 (%) (kg/(m)^2) 序号 (%) (kg/(m)^2) 序号 x-|||-x y-|||-(%) (kg/m(m)^2)-|||-1 0.03 40.5 32 0.10 43.5 63 0.13 47.5-|||-2 0.04 41.5 33 0.10 40.5 64 0.13 49.5-|||-3 0.04 38.0 34 0.10 44.0 65 0.14 49.0-|||-4 0.05 42.5 35 0.10 42.5 66 0.14 41.0-|||-5 0.05 40.0 36 0.10 41.5 67 0.14 43.0-|||-6 0.05 41.0 37 0.10 37.0 68 0.14 47.5-|||-7 0.05 40.0 38 0.10 43.0 69 0.15 46.0-|||-8 0.06 43.0 39 0.10 41.5 70 0.15 49.0-|||-9 0.06 43.5 40 0.10 45.0 71 0.15 39.5-|||-10 0.07 39.5 41 0.10 41.0 72 0.15-|||-11 0.07 43.0 42 0.11 42.5-|||-12 0.07 42.5 43-|||-13 0.08 42.0-|||-14-|||-1 0.03 40.5 32 0.10 43.5 63 0.13 47.5-|||-2 0.04 41.5 33 0.10 40.5 64 0.13 49.5-|||-3 0.04 38.0 34 0.10 44.0 65 0.14 49.0-|||-4 0.05 42.5 35 0.10 42.5 66 0.14 41.0-|||-5 0.05 40.0 36 0.10 41.5 67 0.14 43.0-|||-6 0.05 41.0 37 0.10 37.0 68 0.14 47.5-|||-7 0.05 40.0 38 0.10 43.0 69 0.15 46.0-|||-8 0.06 43.0 39 0.10 41.5 70 0.15 49.0-|||-9 0.06 43.5 40 0.10 45.0 71 0.15 39.5-|||-10 0.07 39.5 41 0.10 41.0 72 0.15 55.0-|||-11 0.07 43.0 42 0.11 42.5 73 0.16 48.0-|||-12 0.07 42.5 43 0.11 42.0 74 0.16 48.5-|||-13 0.08 42.0 44 0.11 42.0 75 0.16 51.0-|||-14 0.08 42.0 45 0.11 46.0 76 0.16 48.0-|||-15 0.08 42.0 46 0.11 45.5 77 0.17 53.0-|||-16 0.08 41.5 47 0.12 49.0 78 0.18 50.0-|||-(%)-|||-0.03-|||-0.04-|||-0.04-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.05-|||-0.06-|||-0.06-|||-0.07-|||-0.07-|||-0.07-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.08-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-0.09-|||-17 0.08 42.0 48 0.12 42.5 79 0.20 52.5-|||-18 0.08 41.5 49 0.12 44.0 80 0.20 55.5-|||-19 0.08 42.0 50 0.12 42.0 81 0.20 57.0-|||-20 0.09 42.5 51 0.12 43.0 82 0.21 56.0-|||-21 0.09 39.5 52 0.12 46.5 83 0.21 52.5-|||-22 0.09 43.5 53 0.12 46.5 84 0.21 56.0-|||-23 0.09 39.0 54 0.13 43.0 85 0.23 60.0-|||-24 0.09 42.5 55 0.13 46.0 86 0.24 56.0-|||-25 0.09 42.0 56 0.13 43.0 87 0.24 53.0-|||-26 0.09 43.0 57 0.13 44.5 88 0.24 53.0-|||-27 0.09 43.0 58 0.13 49.546.5 89 0.25 54.5-|||-28 0.09 44.5 59 0.13 43.0 90 0.26 61.5-|||-29 0.09 43.0 60 0.13 45.5 91 0.29 59.5-|||-30 0.09 45.0 61 0.13 44.5 92 0.32 64.0-|||-31 0.09 45.5 62 0.13 46.0
题目解答
答案
解析
步骤 1：求β0和β1的最小二乘估计
使用最小二乘法，我们可以通过计算得到β0和β1的估计值。最小二乘法的目标是最小化残差平方和，即最小化 $\sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2$。通过求解这个最小化问题，我们可以得到β0和β1的估计值。
步骤 2：写出经验回归方程
根据步骤1中得到的β0和β1的估计值，我们可以写出经验回归方程，即 $y = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x$。
步骤 3：作回归方程的显著性检验
回归方程的显著性检验通常使用F检验。F检验的统计量为 $F = \frac{MSR}{MSE}$，其中MSR是回归平方和的均方，MSE是误差平方和的均方。如果F值大于临界值，则回归方程显著。
步骤 4：求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间
β0和β1的置信区间可以通过计算得到。置信区间的计算公式为 $\hat{\beta} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta})$，其中$t_{\alpha/2, n-2}$是自由度为n-2的t分布的临界值，$SE(\hat{\beta})$是β的估计值的标准误差。
步骤 5：求含碳量 ${x}_{0}=0.1$ 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95 %的预测区间
点预测是将 ${x}_{0}=0.1$ 代入回归方程得到的预测值。预测区间可以通过计算得到，预测区间的计算公式为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE_{pred}$，其中$SE_{pred}$是预测值的标准误差。
使用最小二乘法，我们可以通过计算得到β0和β1的估计值。最小二乘法的目标是最小化残差平方和，即最小化 $\sum_{i=1}^{n}(y_i - (\beta_0 + \beta_1 x_i))^2$。通过求解这个最小化问题，我们可以得到β0和β1的估计值。
步骤 2：写出经验回归方程
根据步骤1中得到的β0和β1的估计值，我们可以写出经验回归方程，即 $y = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x$。
步骤 3：作回归方程的显著性检验
回归方程的显著性检验通常使用F检验。F检验的统计量为 $F = \frac{MSR}{MSE}$，其中MSR是回归平方和的均方，MSE是误差平方和的均方。如果F值大于临界值，则回归方程显著。
步骤 4：求出β0和β1各自的置信系数为95%的置信区间
β0和β1的置信区间可以通过计算得到。置信区间的计算公式为 $\hat{\beta} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE(\hat{\beta})$，其中$t_{\alpha/2, n-2}$是自由度为n-2的t分布的临界值，$SE(\hat{\beta})$是β的估计值的标准误差。
步骤 5：求含碳量 ${x}_{0}=0.1$ 时,钢的强度y0的点预测和包含概率为95 %的预测区间
点预测是将 ${x}_{0}=0.1$ 代入回归方程得到的预测值。预测区间可以通过计算得到，预测区间的计算公式为 $\hat{y} \pm t_{\alpha/2, n-2} \times SE_{pred}$，其中$SE_{pred}$是预测值的标准误差。