题目
0-|||-1 2 3 4 5 6某企业为加强科研创新，加大研发资金的投入，新研发了一种产品．该产品的生产成本由直接生产成本(如原料、工人工资、机器设备折旧等)和间接生产成本(如物料消耗、管理人员工资、车间房屋折旧等)组成．该产品的间接生产成本y(万元)与该产品的生产数量x(千件)有关，经统计并对数据作初步处理，得到散点图及一些统计量的值． overline(x) overline(y) overline(ω) sum_(i=1)^6(xi-overline(x))2 sum_(i=1)^6(ωi-overline(ω))2 sum_(i=1)^6(xi-overline(x))(yi-overline(y)) sum_(i=1)^6(ωi-overline(ω))(yi-overline(y)) 3.5 13.24 1.81 17.5 1.46 19.9 5.84 表中(ω_i)=sqrt((x_i))，overline(ω)=(1)/(6)sum_(i=1)^6({ω_i)}．(1)根据散点图判断y=bx+a与y=dsqrt(x)+c哪一个更适合作为间接生产成本y与该产品的生产数量x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测生产9千件产品时，间接生产成本是多少万元；(3)为确保产品质量，该企业在生产过程中对生产的每件产品均进行五个环节的质量检测，若检测出不合格产品，则需在未进入下一环节前立即修复(修复后再进入下一环节)，已知每个环节是相互独立的，且每个环节产品检测的合格率均为98%，各环节中不合格的一件产品所需的修复费用均为100元，求一件产品需修复的平均费用．附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=(sum_(i=1)^n((u)_(i)-overline(u))((v)_(i)-overline(v)))/(sum_(i=1)^n({u)_(i)-overline(u))^2}，α=overline(v)-βoverline(u)．
某企业为加强科研创新，加大研发资金的投入，新研发了一种产品．该产品的生产成本由直接生产成本(如原料、工人工资、机器设备折旧等)和间接生产成本(如物料消耗、管理人员工资、车间房屋折旧等)组成．该产品的间接生产成本y(万元)与该产品的生产数量x(千件)有关，经统计并对数据作初步处理，得到散点图及一些统计量的值．| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{ω}$ | $\sum_{i=1}^{6}$(xi$-\overline{x}$)2 | $\sum_{i=1}^{6}$(ωi$-\overline{ω}$)2 | $\sum_{i=1}^{6}$(xi$-\overline{x}$)(yi$-\overline{y}$) | $\sum_{i=1}^{6}$(ωi$-\overline{ω}$)(yi$-\overline{y}$) |
| 3.5 | 13.24 | 1.81 | 17.5 | 1.46 | 19.9 | 5.84 |
(1)根据散点图判断y=bx+a与$y=d\sqrt{x}+c$哪一个更适合作为间接生产成本y与该产品的生产数量x的回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测生产9千件产品时，间接生产成本是多少万元；
(3)为确保产品质量，该企业在生产过程中对生产的每件产品均进行五个环节的质量检测，若检测出不合格产品，则需在未进入下一环节前立即修复(修复后再进入下一环节)，已知每个环节是相互独立的，且每个环节产品检测的合格率均为98%，各环节中不合格的一件产品所需的修复费用均为100元，求一件产品需修复的平均费用．
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}}$，$α=\overline{v}$-$β\overline{u}$．
题目解答
答案
解：(1)由散点图判断$y=d\sqrt{x}+c$更适合作为间接生产成本y与该产品的生产数量x的回归方程类型．
(2)令$ω=\sqrt{x}$，先建立y关于ω的线性回归方程，
∵$d=\frac{{\sum_{i=1}^6{({ω_i}-\barω)}({y_i}-\bar{y})}}{{\sum_{i=1}^6{{{({ω_i}-\barω)}^2}}}}=\frac{{5.84}}{{1.46}}=4$，∴$c=\bar{y}-d\barω=13.24-4×1.81=6$，
∴y关于ω的线性回归方程为y=6+4ω，
∴y关于x的回归方程为$y=6+4\sqrt{x}$．
当x=9时，y=6+4×3=18，
即生产9千件产品时，间接生产成本约是18万元．
(3)设每件产品需修复的环节为ξ个，则ξ～B(5，0.02)，E(ξ)=0.1，
设一件产品需修复的费用为η元，
则η=100ξ，E(η)=100E(ξ)=10(元)．
(2)令$ω=\sqrt{x}$，先建立y关于ω的线性回归方程，
∵$d=\frac{{\sum_{i=1}^6{({ω_i}-\barω)}({y_i}-\bar{y})}}{{\sum_{i=1}^6{{{({ω_i}-\barω)}^2}}}}=\frac{{5.84}}{{1.46}}=4$，∴$c=\bar{y}-d\barω=13.24-4×1.81=6$，
∴y关于ω的线性回归方程为y=6+4ω，
∴y关于x的回归方程为$y=6+4\sqrt{x}$．
当x=9时，y=6+4×3=18，
即生产9千件产品时，间接生产成本约是18万元．
(3)设每件产品需修复的环节为ξ个，则ξ～B(5，0.02)，E(ξ)=0.1，
设一件产品需修复的费用为η元，
则η=100ξ，E(η)=100E(ξ)=10(元)．
解析
- 回归模型选择：通过散点图的分布形态判断模型类型。若数据点呈现非线性趋势（如增速放缓），则选择平方根模型；若接近线性分布，则选择线性模型。
- 回归方程建立：将非线性模型转化为线性模型（令$\omega = \sqrt{x}$），利用最小二乘法计算斜率$d$和截距$c$，最终得到$y$关于$x$的回归方程。
- 期望费用计算：将修复次数视为二项分布，计算期望后转化为总费用。
第（1）题
散点图中，间接生产成本$y$随生产数量$x$增加而增长，但增速逐渐放缓，呈现平方根关系，因此选择模型$y = d\sqrt{x} + c$。
第（2）题
变量代换
令$\omega = \sqrt{x}$，将原模型线性化为$y = d\omega + c$。
计算回归系数
-
斜率$d$：
$d = \frac{\sum (\omega_i - \overline{\omega})(y_i - \overline{y})}{\sum (\omega_i - \overline{\omega})^2} = \frac{5.84}{1.46} = 4$ -
截距$c$：
$c = \overline{y} - d\overline{\omega} = 13.24 - 4 \times 1.81 = 6$
回归方程
$y = 6 + 4\sqrt{x}$。
预测值
当$x = 9$时：
$y = 6 + 4 \times \sqrt{9} = 6 + 4 \times 3 = 18 \text{（万元）}$
第（3）题
模型选择
每个环节独立，修复次数$\xi$服从二项分布$B(5, 0.02)$，期望为：
$E(\xi) = 5 \times 0.02 = 0.1$
总费用计算
修复费用$\eta = 100\xi$，期望为：
$E(\eta) = 100 \times E(\xi) = 100 \times 0.1 = 10 \text{（元）}$