题目

14.对某高校36名大学生的午餐费进行调查，得样本均值为15元，样本标准差为6元，假设总体服从正态分布，求总体均值(即该校大学生的平均午餐费)μ的置信度为0.95的置信区间。

题目解答

答案

为了求出总体均值 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间，我们可以使用以下步骤： 1. 确定样本均值 $\bar{x}$ 和样本标准差 $s$: $\bar{x} = 15, \quad s = 6$ 2. 确定样本容量 $n$: $n = 36$ 3. 确定置信度和对应的 $t$ 值: 置信度为0.95，因此 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$。由于样本容量 $n = 36$，自由度 $df = n - 1 = 35$。在 $t$ 分布表中，找到 $t_{0.025, 35}$（即双侧检验 $\alpha/2 = 0.025$ 对应的 $t$ 值）。对于 $df = 35$，$t_{0.025, 35} \approx 2.030$。 4. 计算 margin of error (MOE): $MOE = t_{0.025, 35} \times \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.030 \times \frac{6}{\sqrt{36}} = 2.030 \times 1 = 2.030$ 5. 计算置信区间: $\text{置信区间} = \bar{x} \pm MOE = 15 \pm 2.030 = (12.97, 17.03)$ 因此，总体均值 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间是 $\boxed{(12.97, 17.03)}$。

解析

本题考查的是在总体服从正态分布且总体方差未知的情况下，利用样本数据求总体均值的置信区间。解题思路如下：

明确已知条件，即样本均值$\bar{x}$、样本标准差$s$和样本容量$n$。
根据置信度计算显著性水平$\alpha$，再由样本容量计算自由度$df$。
查找$t$分布表，得到对应自由度和$\alpha/2$的$t$值。
计算边际误差$MOE$，其计算公式为$MOE = t_{\alpha/2, df} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$。
最后根据样本均值$\bar{x}$和边际误差$MOE$计算置信区间，公式为$\text{置信区间} = \bar{x} \pm MOE$。

下面进行详细计算：

已知样本均值$\bar{x} = 15$元，样本标准差$s = 6$元，样本容量$n = 36$。
置信度为$0.95$，则显著性水平$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，自由度$df = n - 1 = 36 - 1 = 35$。
对于双侧检验，$\alpha/2 = 0.025$，查$t$分布表可得$t_{0.025, 35} \approx 2.030$。
计算边际误差$MOE$：
$\begin{align*}MOE &= t_{0.025, 35} \times \frac{s}{\sqrt{n}}\\&= 2.030 \times \frac{6}{\sqrt{36}}\\&= 2.030 \times \frac{6}{6}\\&= 2.030\end{align*}$
计算置信区间：
$\begin{align*}\text{置信区间} &= \bar{x} \pm MOE\\&= 15 \pm 2.030\\&= (15 - 2.030, 15 + 2.030)\\&= (12.97, 17.03)\end{align*}$