题目

设随机变量 X 服从正态分布 N(0,1)，对给定的 a, (0 U_a) = a，若 P|X| A. U_((a)/(2))B. U_(1-(a)/(2))C. U_((1-a)/(2))D. U_(1-a)

设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(0,1)$，对给定的 $a, (0 < a < 1)$，数 $U_a$ 满足 $P(X > U_a) = a$，若 $P\{|X| < x\} = a$，则 $x$ 等于（）。

A. $U_{\frac{a}{2}}$

B. $U_{1-\frac{a}{2}}$

C. $U_{\frac{1-a}{2}}$

D. $U_{1-a}$

题目解答

答案

C. $U_{\frac{1-a}{2}}$

解析

本题考查正态分布的性质以及概率的基本运算。解题的关键在于利用正态分布的对称性，将$P\{|X| \lt x\}$转化为与已知条件$P(X \gt U_a) = a$相关的形式，进而求出$x$的值。

  1. 首先，根据绝对值不等式的性质，$P\{|X| \lt x\}$可转化为$P\{ -x \lt X \lt x\}$。
  2. 因为随机变量$X$服从正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数图像关于$x = 0$对称，所以$P\{ -x \lt X \lt x\}=P\{X \lt x\} - P\{X \lt -x\}$，且$P\{X \lt -x\}=P\{X \gt x\}$。
    • 那么$P\{ -x \lt X \lt x\}=P\{X \lt x\} - P\{X \gt x\}$。
    • 又因为$P\{X \lt x\}=1 - P\{X \gt x\}$，所以$P\{ -x \lt X \lt x\}=1 - P\{X \gt x\} - P\{X \gt x\}=1 - 2P\{X \gt x\}$。
  3. 已知$P\{|X| \lt x\} = a$，即$1 - 2P\{X \gt x\}=a$。
    • 对$1 - 2P\{X \gt x\}=a$进行求解，移项可得$2P\{X \gt x\}=1 - a$。
    • 两边同时除以$2$，得到$P\{X \gt x\}=\frac{1 - a}{2}$。
  4. 由已知数$U_a$满足$P(X \gt U_a) = a$，对比$P\{X \gt x\}=\frac{1 - a}{2}$，可得$x = U_{\frac{1 - a}{2}}$。