题目
3.填空题设总体X~B(100，20%)，(X_(1),X_(2),...,X_(10))是取自该总体的一个容量为10的样本，样本均值为overline(x)，样本方差为S²，2阶原点矩A₂，2阶中心矩为S_(n)^2，则E(X_(i))=(第1空)，D(X_(i))=(第2空)，E(overline(X))=(第3空)，D(overline(X))=(第4空)，E(S^2)=(第5空)，E(A_(2))=(第6空)，E(S_(n)^2)=(第7空)(请把解答详细步骤拍照上传至解答题)
3.填空题
设总体X~B(100，20%)，$(X_{1},X_{2},\cdots,X_{10})$是取自该总体的一个容量为10的样本，样本均值为$\overline{x}$，样本方差为S²，2阶原点矩A₂，2阶中心矩为$S_{n}^{2}$，则E(X$_{i}$)=(第1空)，D(X$_{i}$)=(第2空)，$E(\overline{X})$=(第3空)，$D(\overline{X})$=(第4空)，$E(S^{2})$=(第5空)，$E(A_{2})$=(第6空)，$E(S_{n}^{2})$=(第7空)
(请把解答详细步骤拍照上传至解答题)
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们需要使用二项分布的性质以及样本均值和方差的性质。让我们一步步来分析。
1. **求 $ E(X_i) $ 和 $ D(X_i) $:**
由于 $ X_i $ 是来自二项分布 $ B(100, 20\%) $ 的样本，我们有：
\[
E(X_i) = np = 100 \times 0.2 = 20
\]
\[
D(X_i) = np(1-p) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16
\]
2. **求 $ E(\overline{X}) $ 和 $ D(\overline{X}) $:**
样本均值 $ \overline{X} $ 由下式给出：
\[
\overline{X} = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i
\]
样本均值的期望值为：
\[
E(\overline{X}) = E\left( \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i \right) = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} E(X_i) = \frac{1}{10} \times 10 \times 20 = 20
\]
样本均值的方差为：
\[
D(\overline{X}) = D\left( \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i \right) = \frac{1}{10^2} \sum_{i=1}^{10} D(X_i) = \frac{1}{100} \times 10 \times 16 = 1.6
\]
3. **求 $ E(S^2) $:**
样本方差 $ S^2 $ 由下式给出：
\[
S^2 = \frac{1}{9} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \overline{X})^2
\]
样本方差的期望值为：
\[
E(S^2) = D(X_i) = 16
\]
这是因为样本方差 $ S^2 $ 是总体方差 $ D(X_i) $ 的无偏估计量。
4. **求 $ E(A_2) $:**
2阶原点矩 $ A_2 $ 由下式给出：
\[
A_2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2
\]
2阶原点矩的期望值为：
\[
E(A_2) = E\left( \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} X_i^2 \right) = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} E(X_i^2) = \frac{1}{10} \times 10 \times E(X_i^2) = E(X_i^2)
\]
我们知道：
\[
E(X_i^2) = D(X_i) + [E(X_i)]^2 = 16 + 20^2 = 16 + 400 = 416
\]
因此：
\[
E(A_2) = 416
\]
5. **求 $ E(S_n^2) $:**
2阶中心矩 $ S_n^2 $ 由下式给出：
\[
S_n^2 = \frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} (X_i - \overline{X})^2
\]
2阶中心矩的期望值为：
\[
E(S_n^2) = \frac{9}{10} D(X_i) = \frac{9}{10} \times 16 = 14.4
\]
将所有答案汇总，我们得到：
\[
\boxed{20, 16, 20, 1.6, 16, 416, 14.4}
\]