9.设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为f(x,y)=}ke^-3x-4y,&x>0,y>0,0,&其他.(1)求常数k; (2)求相应的分布函数; (3)求P(0<1,0<2).注:(2)求分布函数属于选做,不做不扣分。

本题主要考查二维随机变量联合密度函数的性质、分布函数的求解以及利用联合密度函数计算概率。

(1) 求常数 $k$

根据二维随机变量联合密度函数的性质，对于联合密度函数 $f(x,y)$，有$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy = 1$。
已知$f(x,y)=\begin{cases}ke^{-3x - 4y},&x \gt 0,y \gt 0\\0,&\text{其他}\end{cases}$，则：
$\begin{align*} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx \, dy&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} ke^{-3x - 4y} \, dx \, dy\\ &=k\int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-4y} \, dy \end{align*}$
先计算$\int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx$，令$u = -3x$，则$du = -3dx$，当$x = 0$时，$u = 0$；当$x \to +\infty$时，$u \to -\infty$，所以：
$\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx&=-\frac{1}{3}\int_{0}^{-\infty} e^{u} \, du\\ &=\frac{1}{3}\int_{-\infty}^{0} e^{u} \, du\\ &=\frac{1}{3}[e^{u}]_{-\infty}^{0}\\ &=\frac{1}{3}(1 - 0)\\ &=\frac{1}{3} \end{align*}$
同理，计算$\int_{0}^{+\infty} e^{-4y} \, dy$，令$v = -4y$，则$dv = -4dy$，当$y = 0$时，$v = 0$；当$y \to +\infty$时，$v \to -\infty$，所以：
$\begin{align*} \int_{0}^{+\infty} e^{-4y} \, dy&=-\frac{1}{4}\int_{0}^{-\infty} e^{v} \, dv\\ &=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{0} e^{v} \, dv\\ &=\frac{1}{4}[e^{v}]_{-\infty}^{0}\\ &=\frac{1}{4}(1 - 0)\\ &=\frac{1}{4} \end{align*}$
将上述结果代入$k\int_{0}^{+\infty} e^{-3x} \, dx \int_{0}^{+\infty} e^{-4y} \, dy = 1$，可得：
$k\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{4} = 1$
解得$k = 12$。

(2) 求相应的分布函数 $F(x,y)$

分布函数$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} f(u,v) \, du \, dv$。

• 当$x \leq 0$或$y \leq 0$时，$f(u,v) = 0$，则$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y} 0 \, du \, dv = 0$。
• 当$x \gt 0$且$y \gt 0$时：
  $\begin{align*} F(x,y)&=\int_{0}^{x}\int_{0}^{y} 12e^{-3u - 4v} \, du \, dv\\ &=12\int_{0}^{x} e^{-3u} \, du \int_{0}^{y} e^{-4v} \, dv\\ &=12\times\left(-\frac{1}{3}[e^{-3u}]_{0}^{x}\right)\times\left(-\frac{1}{4}[e^{-4v}]_{0}^{y}\right)\\ &=(1 - e^{-3x})(1 - e^{-4y}) \end{align*}$
  综上，分布函数$F(x,y) = \begin{cases} (1 - e^{-3x})(1 - e^{-4y}), & x \gt 0, y \gt 0\\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。

(3) 求 $P(0 \lt X \lt 1, 0 \lt Y \lt 2)$

根据概率的计算公式$P(0 \lt X \lt 1, 0 \lt Y \lt 2)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} f(x,y) \, dx \, dy$，已知$f(x,y)=12e^{-3x - 4y}$（$x \gt 0,y \gt 0$），则：
$\begin{align*} P(0 \lt X \lt 1, 0 \lt Y \lt 2)&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2} 12e^{-3x - 4y} \, dx \, dy\\ &=12\int_{0}^{1} e^{-3x} \, dx \int_{0}^{2} e^{-4y} \, dy\\ &=12\times\left(-\frac{1}{3}[e^{-3x}]_{0}^{1}\right)\times\left(-\frac{1}{4}[e^{-4y}]_{0}^{2}\right)\\ &=(1 - e^{-3})(1 - e^{-8}) \end{align*}$