复数=-2sqrt (3)-2i的三角表示形式和指数表示形式分别为=-2sqrt (3)-2i和=-2sqrt (3)-2i对错

考查要点：本题主要考查复数的三角表示和指数表示的正确性判断，涉及复数模长的计算、辐角的确定，以及欧拉公式的应用。

解题核心思路：

1. 计算模长：根据复数实部和虚部的值，利用公式$r = \sqrt{a^2 + b^2}$求出模长。
2. 确定辐角：根据复数所在象限，结合反正切函数计算辐角主值，注意角度的正负表示。
3. 验证表示形式：将辐角代入三角形式和指数形式，检查是否与题目给出的形式一致。

破题关键点：

• 模长计算：正确计算$r = 4$。
• 辐角符号与等效性：理解负角度$-\dfrac{5}{6}\pi$与正角度$\dfrac{7}{6}\pi$的等效性（相差$2\pi$）。
• 欧拉公式应用：确认指数形式$z = re^{i\theta}$与三角形式的对应关系。

1. 计算模长

复数$z = -2\sqrt{3} - 2i$的模长为：
$r = \sqrt{(-2\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$
结论：模长$r = 4$，与题目一致。

2. 确定辐角

复数$z$的实部和虚部均为负数，位于第三象限。
计算参考角：
$\tan \theta_{\text{参考}} = \left|\frac{\text{虚部}}{\text{实部}}\right| = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta_{\text{参考}} = \frac{\pi}{6}$
第三象限的辐角主值为：
$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6}\pi$
题目中给出的辐角为$-\dfrac{5}{6}\pi$，由于角度具有周期性$2\pi$，可验证：
$-\dfrac{5}{6}\pi + 2\pi = \dfrac{7}{6}\pi$
结论：$-\dfrac{5}{6}\pi$与$\dfrac{7}{6}\pi$等效，题目中的辐角表示正确。

3. 验证三角形式与指数形式

• 三角形式：$z = 4\left[\cos\left(-\dfrac{5}{6}\pi\right) + i\sin\left(-\dfrac{5}{6}\pi\right)\right]$，与题目一致。
• 指数形式：根据欧拉公式$z = re^{i\theta}$，代入$r = 4$和$\theta = -\dfrac{5}{6}\pi$，得：
  $z = 4e^{-\dfrac{5}{6}\pi i}$
  题目中的指数形式书写存在排版问题，但本质正确。

最终结论：题目中的两种表示形式均正确。