题目

19.(填空题，4.0分)已知总体X~N(μ，4)，从总体中抽取容量n=16的样本，样本均值overline(x)=10，若置信度1-α=0.95，则总体均值μ的双侧置信区间为_____.(请小数点之后保留2位有效数字，u_(0.025)=1.96)第1空

19.(填空题，4.0分) 已知总体X~N(μ，4)，从总体中抽取容量n=16的样本，样本均值$\overline{x}=10$，若置信度1-α=0.95，则总体均值μ的双侧置信区间为_____.(请小数点之后保留2位有效数字，u_{0.025}=1.96) 第1空

题目解答

答案

已知总体 $X \sim N(\mu, 4)$，样本容量 $n = 16$，样本均值 $\overline{x} = 10$，置信度 $1 - \alpha = 0.95$，对应临界值 $u_{0.025} = 1.96$。 总体标准差 $\sigma = 2$，标准误为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{4} = 0.5$。 置信区间计算为： \[ \overline{x} \pm u_{0.025} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10 \pm 1.96 \times 0.5 = 10 \pm 0.98 \] 即 $(9.02, 10.98)$。 **答案：** $\boxed{(9.02, 10.98)}$

解析

本题考查正态总体均值的双侧置信区间的计算。解题思路如下：

  1. 首先明确已知条件，总体$X\sim N(\mu, 4)$，这表明总体服从正态分布，其中总体方差$\sigma^{2}=4$，那么总体标准差$\sigma=\sqrt{4} = 2$；样本容量$n = 16$；样本均值$\overline{x}=10$；置信度$1 - \alpha = 0.95$，由此可推出$\alpha=1 - 0.95 = 0.05$，$\frac{\alpha}{2}=0.025$，对应的临界值$u_{\frac{\alpha}{2}}=u_{0.025}=1.96$。
  2. 然后计算标准误，对于正态总体，当总体标准差$\sigma$已知时，样本均值$\overline{X}$的标准误为$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。将$\sigma = 2$，$n = 16$代入可得：
    • $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{16}}=\frac{2}{4}=0.5$。
  3. 最后根据正态总体均值$\mu$的双侧置信区间公式$\overline{x}\pm u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$来计算置信区间。
    • 下限为$\overline{x}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=10 - 1.96\times0.5=10 - 0.98 = 9.02$。
    • 上限为$\overline{x}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=10 + 1.96\times0.5=10 + 0.98 = 10.98$。
    • 所以总体均值$\mu$的双侧置信区间为$(9.02, 10.98)$。