题目
设一批零件的长度服从正态分布，其中均未知，现从中随机抽取25个零件，测得样本均值，样本标准差，则的置信度为0.95的置信区间是：
设一批零件的长度服从正态分布
，其中
均未知，现从中随机抽取25个零件，测得样本均值
，样本标准差
，则
的置信度为0.95的置信区间是：
题目解答
答案
由于方差未知，所以对均值进行区间估计需要使用枢轴量为
，其中
是已知的，化简得到
，然后列出置信不等式，由于是双侧区间，所以不等式为
，即
，解得
，所以答案为C。
解析
步骤 1：确定枢轴量
由于方差未知，对均值进行区间估计需要使用枢轴量$T=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {s}{\sqrt {n}}}$，其中$\overline {x}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。根据题目，$\overline {x}=30$，$s=1$，$n=25$，所以$T=\dfrac {30-\mu }{\dfrac {1}{\sqrt {25}}}=\dfrac {30-\mu }{\dfrac {1}{5}}=5(30-\mu )$。
步骤 2：确定枢轴量的分布
枢轴量$T$服从自由度为$n-1=24$的t分布，即$T\sim t(24)$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为0.95的置信区间意味着双侧置信水平为0.05，即$\alpha=0.05$。因此，置信区间为$T|\lt t\dfrac {a}{2}(n-1)={t}_{0.025}(24)$，即$5(30-\mu )|\lt t0.025(24)$。解得$\mu$的置信区间为$(30-\dfrac {1}{5}t0.025(24),30+\dfrac {1}{5}t0.025(24))$。
由于方差未知，对均值进行区间估计需要使用枢轴量$T=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {s}{\sqrt {n}}}$，其中$\overline {x}$是样本均值，$s$是样本标准差，$n$是样本容量。根据题目，$\overline {x}=30$，$s=1$，$n=25$，所以$T=\dfrac {30-\mu }{\dfrac {1}{\sqrt {25}}}=\dfrac {30-\mu }{\dfrac {1}{5}}=5(30-\mu )$。
步骤 2：确定枢轴量的分布
枢轴量$T$服从自由度为$n-1=24$的t分布，即$T\sim t(24)$。
步骤 3：确定置信区间
置信度为0.95的置信区间意味着双侧置信水平为0.05，即$\alpha=0.05$。因此，置信区间为$T|\lt t\dfrac {a}{2}(n-1)={t}_{0.025}(24)$，即$5(30-\mu )|\lt t0.025(24)$。解得$\mu$的置信区间为$(30-\dfrac {1}{5}t0.025(24),30+\dfrac {1}{5}t0.025(24))$。