题目

设总体sim N((0,4)^2)，sim N((0,4)^2)是来自总体X的一个样本，则sim N((0,4)^2)服从的分布是（）A.sim N((0,4)^2)B.sim N((0,4)^2)C.sim N((0,4)^2)D.不确定

设总体 $X\sim N(0,4^2)$ ， $X_1,X_2,\dots,X_{20}$ 是来自总体X的一个样本，则 $\sum_{i=1}^{20}\left(\frac{X_i}{4}\right)^2$ 服从的分布是（）

A. $χ^2(20)$

B. $χ^2(19)$

C. $N(0,4^2)$

D.不确定

题目解答

答案

来自总体X的样本 $X_1,X_2,\dots,X_{20}$ 相互独立且都服从总体X的分布，则 $X_i\sim N(0,4^2),i=1,\cdots,20$ ，则 $\frac{X_i}{4}\sim N(0,1),\left(\frac{X_i}{4}\right)^2\simχ^2(1),i=1,\cdots,20$ ，则 $\sum_{i=1}^{20}\left(\frac{X_i}{4}\right)^2\simχ^2(20)$ ，因此选择A。

解析

步骤 1：确定样本分布
由于总体$X\sim N({0,4}^{2})$，样本$X_1,X_2,\cdots,X_{20}$相互独立且都服从总体$X$的分布，因此每个样本$X_i$都服从$N(0,4^2)$的正态分布。

步骤 2：标准化样本
对于每个样本$X_i$，标准化后的变量$\dfrac{X_i}{4}$服从标准正态分布$N(0,1)$。

步骤 3：平方标准化样本
将标准化后的变量$\dfrac{X_i}{4}$平方，得到${(\dfrac{X_i}{4})}^2$，根据卡方分布的定义，${(\dfrac{X_i}{4})}^2$服从自由度为1的卡方分布${\chi}^2(1)$。

步骤 4：求和
将20个${(\dfrac{X_i}{4})}^2$相加，得到$\sum_{i=1}^{20}{(\dfrac{X_i}{4})}^2$。根据卡方分布的性质，自由度为1的卡方分布的和服从自由度为20的卡方分布${\chi}^2(20)$。