设(X_1,X_2,...,X_n)是正态总体Xsim N(mu,sigma^2)的一个样本，则(overline(X)-mu)/(S/sqrt(n))服从(）分布。A. t(n-1)B. N(0,1)C. t(n)D. chi^2(n)

考查要点：本题主要考查t分布的定义及其应用条件，需要理解样本均值、样本标准差与t分布之间的关系。

解题核心思路：

1. 分子部分：$(\overline{X} - \mu)$标准化后服从标准正态分布$N(0,1)$。
2. 分母部分：$S/\sqrt{n}$是样本标准差的标准化形式，其中$S^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计。
3. 关键结论：当总体方差未知时，用样本方差代替总体方差构造的统计量服从t分布，自由度为$n-1$（因样本方差计算中损失了一个自由度）。

破题关键点：

• 明确$t$分布的构造形式：$\frac{Z}{\sqrt{\chi^2(k)/k}}$，其中$Z \sim N(0,1)$，$\chi^2(k)$与$Z$独立。
• 本题中，分子对应$Z$，分母对应$\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}$，因此自由度为$n-1$。

1. 标准化样本均值：
   根据正态总体性质，$\overline{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$，因此
   $\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1).$

2. 样本方差的分布：
   样本方差$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$满足
   $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).$

3. 构造t分布：
   将分子中的$\sigma$替换为$S$，得
   $\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(n-1)/(n-1)}} \sim t(n-1).$
   这里利用了$t$分布的定义：若$Z \sim N(0,1)$，$V \sim \chi^2(k)$且独立，则$\frac{Z}{\sqrt{V/k}} \sim t(k)$。