设X_1, X_2, ..., X_n是来自概率密度为f(x)=} theta x^theta-1, & 0 < x < 1 0, & (其他) 的总体的样本，求theta的最大似然估计量。

设样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自概率密度函数 $f(x) = \theta x^{\theta-1}$（$0 < x < 1$），则似然函数为：
$L(\theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}$
取对数似然函数：
$\ell(\theta) = n \ln \theta + (\theta-1) \sum_{i=1}^n \ln X_i$
对 $\theta$ 求导并令导数为零：
$\frac{d\ell(\theta)}{d\theta} = \frac{n}{\theta} + \sum_{i=1}^n \ln X_i = 0$
解得：
$\theta = -\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}$
或等价表示：
$\theta = \frac{n}{-\sum_{i=1}^n \ln X_i}$
结论：
$\theta$ 的最大似然估计量为：
$\boxed{-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i}}$