题目
求指导本题解题过程，谢谢您！单选题(10.0分)-|||-6.有一铁丝弯成半圆形 =acos t =asin t leqslant tleqslant pi ,-|||-其上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方,则铁-|||-丝的质量为-|||-A dfrac (pi )(2)(a)^3-|||-B dfrac (pi )(4)(a)^3-|||-C 2πa^2-|||-D 2a^2
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定铁丝的参数方程
铁丝的参数方程为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant \pi$。这表示铁丝是一个半圆，半径为 $a$。
步骤 2：计算铁丝上每一点的密度
根据题目，铁丝上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，即密度 $\rho = (a\sin t)^2 = a^2\sin^2 t$。
步骤 3：计算铁丝的质量
铁丝的质量 $m$ 可以通过积分密度函数来计算。铁丝的长度微元 $ds$ 可以通过参数方程的导数来计算，即 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$。对于给定的参数方程，$\frac{dx}{dt} = -a\sin t$ 和 $\frac{dy}{dt} = a\cos t$，因此 $ds = a dt$。所以，铁丝的质量 $m$ 为：
$$
m = \int_{0}^{\pi} \rho ds = \int_{0}^{\pi} a^2\sin^2 t \cdot a dt = a^3 \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt
$$
利用三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1}{2}(1 - \cos 2t)$，可以将积分简化为：
$$
m = a^3 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1 - \cos 2t) dt = \frac{a^3}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt
$$
计算积分：
$$
m = \frac{a^3}{2} \left[ t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \frac{a^3}{2} \left[ \pi - 0 \right] = \frac{\pi}{2}a^3
$$
铁丝的参数方程为 $x=a\cos t$ 和 $y=a\sin t$，其中 $0\leqslant t\leqslant \pi$。这表示铁丝是一个半圆，半径为 $a$。
步骤 2：计算铁丝上每一点的密度
根据题目，铁丝上每一点的密度等于该点的纵坐标的平方，即密度 $\rho = (a\sin t)^2 = a^2\sin^2 t$。
步骤 3：计算铁丝的质量
铁丝的质量 $m$ 可以通过积分密度函数来计算。铁丝的长度微元 $ds$ 可以通过参数方程的导数来计算，即 $ds = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$。对于给定的参数方程，$\frac{dx}{dt} = -a\sin t$ 和 $\frac{dy}{dt} = a\cos t$，因此 $ds = a dt$。所以，铁丝的质量 $m$ 为：
$$
m = \int_{0}^{\pi} \rho ds = \int_{0}^{\pi} a^2\sin^2 t \cdot a dt = a^3 \int_{0}^{\pi} \sin^2 t dt
$$
利用三角恒等式 $\sin^2 t = \frac{1}{2}(1 - \cos 2t)$，可以将积分简化为：
$$
m = a^3 \int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(1 - \cos 2t) dt = \frac{a^3}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2t) dt
$$
计算积分：
$$
m = \frac{a^3}{2} \left[ t - \frac{1}{2}\sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \frac{a^3}{2} \left[ \pi - 0 \right] = \frac{\pi}{2}a^3
$$