21.设随机变量(X Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= +y,0lt xlt 1 lt ylt 1 ,-|||-0

步骤 1：求 Z=X+Y 的概率密度
为了求 Z=X+Y 的概率密度，我们首先需要找到 Z 的累积分布函数（CDF），然后对 CDF 求导得到概率密度函数（PDF）。
Z 的 CDF 定义为 F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(X + Y ≤ z)。由于 X 和 Y 的取值范围都是 (0, 1)，所以 Z 的取值范围是 (0, 2)。
当 0 < z < 1 时，Z 的 CDF 为：
F_Z(z) = ∫∫_{x+y≤z} f(x,y) dxdy = ∫_{0}^{z} ∫_{0}^{z-x} (x+y) dy dx
当 1 ≤ z < 2 时，Z 的 CDF 为：
F_Z(z) = ∫∫_{x+y≤z} f(x,y) dxdy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{z-x} (x+y) dy dx
对 F_Z(z) 求导得到 Z 的 PDF。
步骤 2：求 Z=XY 的概率密度
为了求 Z=XY 的概率密度，我们同样需要找到 Z 的累积分布函数（CDF），然后对 CDF 求导得到概率密度函数（PDF）。
Z 的 CDF 定义为 F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(XY ≤ z)。由于 X 和 Y 的取值范围都是 (0, 1)，所以 Z 的取值范围是 (0, 1)。
Z 的 CDF 为：
F_Z(z) = ∫∫_{xy≤z} f(x,y) dxdy = ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{z/x} (x+y) dy dx
对 F_Z(z) 求导得到 Z 的 PDF。