题目

计算(int )_(c)_(c)dfrac (cos z)((z-dfrac {1)(2))(z-1)}dz，其中(int )_(c)_(c)dfrac (cos z)((z-dfrac {1)(2))(z-1)}dz

计算 $\oint_{c}\frac{\cos z}{(z-\frac12)(z-1)}\mathrm{dz}$ ，其中 $\mathbf{c}\text{为}{|\mathbf{z}|=2}$

题目解答

答案

首先，我们来分析被积函数的奇点。

$\text{被积函数}\frac{\cos z}{(z-\frac12)(z-1)}\text{的奇点为}z=\frac12\text{和}z=1。$

$\text{因为}c\text{为}|z|=2\text{,这两个奇点都在}c\text{的内部。}$

接下来，我们使用留数定理来计算积分。

$z=\frac12\text{处的留数}:$

$\begin{aligned} \underset{z=\frac{1}{2}}{Res}f(z)& =\operatorname*{lim}_{z\to\frac{1}{2}}(z-\frac{1}{2}) \frac{\mathrm{cos}z}{(z-\frac{1}{2})(z-1)} \\ &=\lim_{z\to\frac{1}{2}}\frac{\cos z}{(z-1)} \\ &=\frac{\cos\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2}-1)}=-2\cos\frac{1}{2} \end{aligned}$

$z=1\text{处的留数}:$

$\begin{aligned} \mathop{Res}_{z=1}f(z)& =\lim_{z\to1}(z-1) \frac{\cos z}{(z-\frac{1}{2})(z-1)} \\ &=\lim_{z\to1}\frac{\cos z}{(z-\frac{1}{2})} \\ &=\frac{\cos1}{(1-\frac{1}{2})}=2\mathrm{cos}1 \end{aligned}$

$\text{所以,}\int_c\frac{\cos z}{(z-\frac12)(z-1)} dz=2\pi i(- 2\mathrm{cos} \frac12 +$

$2cos1)$