6.[单选题]求lim_(ntoinfty)(1+a)(1+a^2)...(1+a^2n) |a|A. 1-aB. (1)/(1-a)C. (1)/(a)D. a

考查要点：本题主要考查无限乘积的极限与几何级数求和的关系，需要学生理解如何将乘积形式转化为级数形式，并利用已知的几何级数求和公式求解。

解题核心思路：
当乘积形式为$(1+a)(1+a^2)(1+a^4)\cdots(1+a^{2^n})$时，展开后可得到几何级数的部分和。随着$n \to \infty$，该部分和趋近于几何级数的和$\frac{1}{1-a}$（因$|a|<1$）。因此，原乘积的极限即为几何级数的和。

破题关键点：

1. 识别乘积结构：每个因子为$(1+a^{2^k})$，指数为2的幂次。
2. 展开乘积：乘积展开后覆盖所有$a^k$项（$k$从0到$2^{n+1}-1$）。
3. 取极限：当$n \to \infty$时，部分和趋近于无限级数和$\frac{1}{1-a}$。

步骤1：展开乘积形式

考虑乘积$(1+a)(1+a^2)(1+a^4)\cdots(1+a^{2^n})$，展开后每一项对应不同幂次的$a$相乘，例如：

• 第一项：$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$
• 第二项：$a \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = a$
• 第三项：$1 \cdot a^2 \cdot 1 \cdots 1 = a^2$
• ...
  所有可能的组合对应$a^0, a^1, a^2, \dots, a^{2^{n+1}-1}$，因此展开式为：
  $1 + a + a^2 + a^3 + \cdots + a^{2^{n+1}-1}.$

步骤2：取极限$n \to \infty$

当$n \to \infty$时，$2^{n+1}-1 \to \infty$，展开式变为无限级数：
$1 + a + a^2 + a^3 + \cdots.$
由于$|a| < 1$，该几何级数的和为：
$\frac{1}{1-a}.$

步骤3：结论

因此，原乘积的极限为$\frac{1}{1-a}$，对应选项B。